Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58558 / 29636
↖ ↑ ↗
← N 69.714298°
W 19.165650°		 ← 105.89 m → N 69.714298°
W 19.162903°		 →
↑
105.89 m
↓
↑
105.89 m
↓
N 69.713346°
W 19.165650°		 ← 105.90 m →
11 213 m²		 N 69.713346°
W 19.162903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446765899658203 y=0.226108551025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446765899658203 × 217)
    floor (0.446765899658203 × 131072)
    floor (58558.5)     		tx = 58558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226108551025391 × 217)
    floor (0.226108551025391 × 131072)
    floor (29636.5)     		ty = 29636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58558 / 29636 ti = "17/58558/29636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58558/29636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58558 ÷ 217
    58558 ÷ 131072     		x = 0.446762084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29636 ÷ 217
    29636 ÷ 131072     		y = 0.226104736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446762084960938 × 2 - 1) × π
    -0.106475830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33450369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226104736328125 × 2 - 1) × π
    0.54779052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72093469636002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33450369} λ = -0.33450369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72093469636002))-π/2
    2×atan(5.58975074294624)-π/2
    2×1.39377018185679-π/2
    2.78754036371358-1.57079632675     		φ = 1.21674404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33450369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.165650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21674404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.714298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58558 KachelY 29636 -0.33450369 1.21674404 -19.165650 69.714298
    Oben rechts KachelX + 1 58559 KachelY 29636 -0.33445575 1.21674404 -19.162903 69.714298
    Unten links KachelX 58558 KachelY + 1 29637 -0.33450369 1.21672742 -19.165650 69.713346
    Unten rechts KachelX + 1 58559 KachelY + 1 29637 -0.33445575 1.21672742 -19.162903 69.713346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21674404-1.21672742) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dl = 105.886020000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21674404-1.21672742) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dr = 105.886020000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33450369--0.33445575) × cos(1.21674404) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346701589313707 × 6371000     		do = 105.891589475368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33450369--0.33445575) × cos(1.21672742) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346717178418361 × 6371000     		du = 105.896350789193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21674404)-sin(1.21672742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346701589313707-0.346717178418361)×R²
    abs(-0.33445575--0.33450369)×1.55891046542123e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.55891046542123e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.55891046542123e-05×40589641000000     		ar = 11212.6910395267m²