Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58557 / 29637
↖ ↑ ↗
← N 69.713346°
W 19.168396°		 ← 105.87 m → N 69.713346°
W 19.165650°		 →
↑
105.89 m
↓
↑
105.89 m
↓
N 69.712394°
W 19.168396°		 ← 105.88 m →
11 211 m²		 N 69.712394°
W 19.165650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446758270263672 y=0.226116180419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446758270263672 × 217)
    floor (0.446758270263672 × 131072)
    floor (58557.5)     		tx = 58557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226116180419922 × 217)
    floor (0.226116180419922 × 131072)
    floor (29637.5)     		ty = 29637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58557 / 29637 ti = "17/58557/29637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58557/29637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58557 ÷ 217
    58557 ÷ 131072     		x = 0.446754455566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29637 ÷ 217
    29637 ÷ 131072     		y = 0.226112365722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446754455566406 × 2 - 1) × π
    -0.106491088867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33455162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226112365722656 × 2 - 1) × π
    0.547775268554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.7208867594604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33455162} λ = -0.33455162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7208867594604))-π/2
    2×atan(5.58948279404835)-π/2
    2×1.39376187177025-π/2
    2.78752374354051-1.57079632675     		φ = 1.21672742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33455162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.168396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21672742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.713346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58557 KachelY 29637 -0.33455162 1.21672742 -19.168396 69.713346
    Oben rechts KachelX + 1 58558 KachelY 29637 -0.33450369 1.21672742 -19.165650 69.713346
    Unten links KachelX 58557 KachelY + 1 29638 -0.33455162 1.21671080 -19.168396 69.712394
    Unten rechts KachelX + 1 58558 KachelY + 1 29638 -0.33450369 1.21671080 -19.165650 69.712394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21672742-1.21671080) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dl = 105.886020000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21672742-1.21671080) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dr = 105.886020000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33455162--0.33450369) × cos(1.21672742) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.346717178418361 × 6371000     		do = 105.874261437645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33455162--0.33450369) × cos(1.21671080) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.346732767427244 × 6371000     		du = 105.879021729043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21672742)-sin(1.21671080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346717178418361-0.346732767427244)×R²
    abs(-0.33450369--0.33455162)×1.55890088824329e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.55890088824329e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.55890088824329e-05×40589641000000     		ar = 11210.856188584m²