Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58554 / 81562
↖ ↑ ↗
← S 40.233412°
W 19.176636°		 ← 233.12 m → S 40.233412°
W 19.173889°		 →
↑
233.11 m
↓
↑
233.11 m
↓
S 40.235509°
W 19.176636°		 ← 233.11 m →
54 343 m²		 S 40.235509°
W 19.173889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446735382080078 y=0.622272491455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446735382080078 × 217)
    floor (0.446735382080078 × 131072)
    floor (58554.5)     		tx = 58554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622272491455078 × 217)
    floor (0.622272491455078 × 131072)
    floor (81562.5)     		ty = 81562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58554 / 81562 ti = "17/58554/81562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58554/81562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58554 ÷ 217
    58554 ÷ 131072     		x = 0.446731567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81562 ÷ 217
    81562 ÷ 131072     		y = 0.622268676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446731567382812 × 2 - 1) × π
    -0.106536865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33469543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622268676757812 × 2 - 1) × π
    -0.244537353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.76823675331102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33469543} λ = -0.33469543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.76823675331102))-π/2
    2×atan(0.463830194756926)-π/2
    2×0.434295409860705-π/2
    0.868590819721411-1.57079632675     		φ = -0.70220551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33469543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.176636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70220551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.233412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58554 KachelY 81562 -0.33469543 -0.70220551 -19.176636 -40.233412
    Oben rechts KachelX + 1 58555 KachelY 81562 -0.33464750 -0.70220551 -19.173889 -40.233412
    Unten links KachelX 58554 KachelY + 1 81563 -0.33469543 -0.70224210 -19.176636 -40.235509
    Unten rechts KachelX + 1 58555 KachelY + 1 81563 -0.33464750 -0.70224210 -19.173889 -40.235509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70220551--0.70224210) × R
    3.6590000000003e-05 × 6371000     		dl = 233.114890000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70220551--0.70224210) × R
    3.6590000000003e-05 × 6371000     		dr = 233.114890000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33469543--0.33464750) × cos(-0.70220551) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.763419499684625 × 6371000     		do = 233.119328165424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33469543--0.33464750) × cos(-0.70224210) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.763395865583324 × 6371000     		du = 233.112111208274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70220551)-sin(-0.70224210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763419499684625-0.763395865583324)×R²
    abs(-0.33464750--0.33469543)×2.36341013011288e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36341013011288e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36341013011288e-05×40589641000000     		ar = 54342.7453581218m²