Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58554 / 35571
↖ ↑ ↗
← N 63.249703°
W 19.176636°		 ← 137.44 m → N 63.249703°
W 19.173889°		 →
↑
137.49 m
↓
↑
137.49 m
↓
N 63.248467°
W 19.176636°		 ← 137.45 m →
18 897 m²		 N 63.248467°
W 19.173889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446735382080078 y=0.271389007568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446735382080078 × 217)
    floor (0.446735382080078 × 131072)
    floor (58554.5)     		tx = 58554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271389007568359 × 217)
    floor (0.271389007568359 × 131072)
    floor (35571.5)     		ty = 35571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58554 / 35571 ti = "17/58554/35571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58554/35571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58554 ÷ 217
    58554 ÷ 131072     		x = 0.446731567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35571 ÷ 217
    35571 ÷ 131072     		y = 0.271385192871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446731567382812 × 2 - 1) × π
    -0.106536865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33469543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271385192871094 × 2 - 1) × π
    0.457229614257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.43642919711498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33469543} λ = -0.33469543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43642919711498))-π/2
    2×atan(4.20565142046916)-π/2
    2×1.33735594812523-π/2
    2.67471189625046-1.57079632675     		φ = 1.10391557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33469543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.176636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10391557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.249703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58554 KachelY 35571 -0.33469543 1.10391557 -19.176636 63.249703
    Oben rechts KachelX + 1 58555 KachelY 35571 -0.33464750 1.10391557 -19.173889 63.249703
    Unten links KachelX 58554 KachelY + 1 35572 -0.33469543 1.10389399 -19.176636 63.248467
    Unten rechts KachelX + 1 58555 KachelY + 1 35572 -0.33464750 1.10389399 -19.173889 63.248467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10391557-1.10389399) × R
    2.15800000000765e-05 × 6371000     		dl = 137.486180000488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10391557-1.10389399) × R
    2.15800000000765e-05 × 6371000     		dr = 137.486180000488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33469543--0.33464750) × cos(1.10391557) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.450103068346846 × 6371000     		do = 137.444386659706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33469543--0.33464750) × cos(1.10389399) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.450122338677305 × 6371000     		du = 137.450271086934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10391557)-sin(1.10389399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450103068346846-0.450122338677305)×R²
    abs(-0.33464750--0.33469543)×1.92703304591202e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92703304591202e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92703304591202e-05×40589641000000     		ar = 18897.1081987495m²