Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58553 / 35574
↖ ↑ ↗
← N 63.245994°
W 19.179382°		 ← 137.49 m → N 63.245994°
W 19.176636°		 →
↑
137.49 m
↓
↑
137.49 m
↓
N 63.244758°
W 19.179382°		 ← 137.50 m →
18 903 m²		 N 63.244758°
W 19.176636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446727752685547 y=0.271411895751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446727752685547 × 217)
    floor (0.446727752685547 × 131072)
    floor (58553.5)     		tx = 58553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271411895751953 × 217)
    floor (0.271411895751953 × 131072)
    floor (35574.5)     		ty = 35574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58553 / 35574 ti = "17/58553/35574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58553/35574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58553 ÷ 217
    58553 ÷ 131072     		x = 0.446723937988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35574 ÷ 217
    35574 ÷ 131072     		y = 0.271408081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446723937988281 × 2 - 1) × π
    -0.106552124023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.33474337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271408081054688 × 2 - 1) × π
    0.457183837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43628538641612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33474337} λ = -0.33474337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43628538641612))-π/2
    2×atan(4.20504664628677)-π/2
    2×1.33732358122858-π/2
    2.67464716245716-1.57079632675     		φ = 1.10385084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33474337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.179382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10385084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.245994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58553 KachelY 35574 -0.33474337 1.10385084 -19.179382 63.245994
    Oben rechts KachelX + 1 58554 KachelY 35574 -0.33469543 1.10385084 -19.176636 63.245994
    Unten links KachelX 58553 KachelY + 1 35575 -0.33474337 1.10382926 -19.179382 63.244758
    Unten rechts KachelX + 1 58554 KachelY + 1 35575 -0.33469543 1.10382926 -19.176636 63.244758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10385084-1.10382926) × R
    2.15800000000765e-05 × 6371000     		dl = 137.486180000488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10385084-1.10382926) × R
    2.15800000000765e-05 × 6371000     		dr = 137.486180000488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33474337--0.33469543) × cos(1.10385084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.450160869779879 × 6371000     		do = 137.490716771473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33474337--0.33469543) × cos(1.10382926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.450180139481547 × 6371000     		du = 137.496602234365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10385084)-sin(1.10382926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450160869779879-0.450180139481547)×R²
    abs(-0.33469543--0.33474337)×1.92697016682675e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92697016682675e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92697016682675e-05×40589641000000     		ar = 18903.4780201947m²