Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58553 / 35573
↖ ↑ ↗
← N 63.247230°
W 19.179382°		 ← 137.48 m → N 63.247230°
W 19.176636°		 →
↑
137.42 m
↓
↑
137.42 m
↓
N 63.245994°
W 19.179382°		 ← 137.49 m →
18 894 m²		 N 63.245994°
W 19.176636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446727752685547 y=0.271404266357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446727752685547 × 217)
    floor (0.446727752685547 × 131072)
    floor (58553.5)     		tx = 58553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271404266357422 × 217)
    floor (0.271404266357422 × 131072)
    floor (35573.5)     		ty = 35573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58553 / 35573 ti = "17/58553/35573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58553/35573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58553 ÷ 217
    58553 ÷ 131072     		x = 0.446723937988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35573 ÷ 217
    35573 ÷ 131072     		y = 0.271400451660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446723937988281 × 2 - 1) × π
    -0.106552124023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.33474337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271400451660156 × 2 - 1) × π
    0.457199096679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.43633332331574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33474337} λ = -0.33474337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43633332331574))-π/2
    2×atan(4.20524822801731)-π/2
    2×1.33733437065596-π/2
    2.67466874131193-1.57079632675     		φ = 1.10387241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33474337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.179382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10387241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.247230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58553 KachelY 35573 -0.33474337 1.10387241 -19.179382 63.247230
    Oben rechts KachelX + 1 58554 KachelY 35573 -0.33469543 1.10387241 -19.176636 63.247230
    Unten links KachelX 58553 KachelY + 1 35574 -0.33474337 1.10385084 -19.179382 63.245994
    Unten rechts KachelX + 1 58554 KachelY + 1 35574 -0.33469543 1.10385084 -19.176636 63.245994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10387241-1.10385084) × R
    2.15699999999153e-05 × 6371000     		dl = 137.42246999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10387241-1.10385084) × R
    2.15699999999153e-05 × 6371000     		dr = 137.42246999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33474337--0.33469543) × cos(1.10387241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.450141608798144 × 6371000     		do = 137.484833971874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33474337--0.33469543) × cos(1.10385084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.450160869779879 × 6371000     		du = 137.490716771473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10387241)-sin(1.10385084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450141608798144-0.450160869779879)×R²
    abs(-0.33469543--0.33474337)×1.92609817346034e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92609817346034e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92609817346034e-05×40589641000000     		ar = 18893.9096870384m²