Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58547 / 86076
↖ ↑ ↗
← S 49.030665°
W 19.195862°		 ← 200.25 m → S 49.030665°
W 19.193115°		 →
↑
200.24 m
↓
↑
200.24 m
↓
S 49.032466°
W 19.195862°		 ← 200.25 m →
40 098 m²		 S 49.032466°
W 19.193115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446681976318359 y=0.656711578369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446681976318359 × 217)
    floor (0.446681976318359 × 131072)
    floor (58547.5)     		tx = 58547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656711578369141 × 217)
    floor (0.656711578369141 × 131072)
    floor (86076.5)     		ty = 86076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58547 / 86076 ti = "17/58547/86076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58547/86076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58547 ÷ 217
    58547 ÷ 131072     		x = 0.446678161621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86076 ÷ 217
    86076 ÷ 131072     		y = 0.656707763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446678161621094 × 2 - 1) × π
    -0.106643676757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33503099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656707763671875 × 2 - 1) × π
    -0.31341552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.984623918195953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33503099} λ = -0.33503099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.984623918195953))-π/2
    2×atan(0.3735796970473)-π/2
    2×0.357524892090752-π/2
    0.715049784181503-1.57079632675     		φ = -0.85574654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33503099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.195862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85574654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.030665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58547 KachelY 86076 -0.33503099 -0.85574654 -19.195862 -49.030665
    Oben rechts KachelX + 1 58548 KachelY 86076 -0.33498305 -0.85574654 -19.193115 -49.030665
    Unten links KachelX 58547 KachelY + 1 86077 -0.33503099 -0.85577797 -19.195862 -49.032466
    Unten rechts KachelX + 1 58548 KachelY + 1 86077 -0.33498305 -0.85577797 -19.193115 -49.032466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85574654--0.85577797) × R
    3.14299999999434e-05 × 6371000     		dl = 200.24052999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85574654--0.85577797) × R
    3.14299999999434e-05 × 6371000     		dr = 200.24052999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33503099--0.33498305) × cos(-0.85574654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655655009556905 × 6371000     		do = 200.253916478494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33503099--0.33498305) × cos(-0.85577797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655631277678434 × 6371000     		du = 200.24666815195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85574654)-sin(-0.85577797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655655009556905-0.655631277678434)×R²
    abs(-0.33498305--0.33503099)×2.3731878471267e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3731878471267e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3731878471267e-05×40589641000000     		ar = 40098.2246689859m²