Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58546 / 38594
↖ ↑ ↗
← N 59.263073°
W 19.198608°		 ← 156.10 m → N 59.263073°
W 19.195862°		 →
↑
156.09 m
↓
↑
156.09 m
↓
N 59.261669°
W 19.198608°		 ← 156.11 m →
24 366 m²		 N 59.261669°
W 19.195862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446674346923828 y=0.294452667236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446674346923828 × 217)
    floor (0.446674346923828 × 131072)
    floor (58546.5)     		tx = 58546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294452667236328 × 217)
    floor (0.294452667236328 × 131072)
    floor (38594.5)     		ty = 38594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58546 / 38594 ti = "17/58546/38594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58546/38594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58546 ÷ 217
    58546 ÷ 131072     		x = 0.446670532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38594 ÷ 217
    38594 ÷ 131072     		y = 0.294448852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446670532226562 × 2 - 1) × π
    -0.106658935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33507893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294448852539062 × 2 - 1) × π
    0.411102294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29151594956355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33507893} λ = -0.33507893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29151594956355))-π/2
    2×atan(3.63829785331559)-π/2
    2×1.30256603952129-π/2
    2.60513207904259-1.57079632675     		φ = 1.03433575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33507893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.198608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03433575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.263073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58546 KachelY 38594 -0.33507893 1.03433575 -19.198608 59.263073
    Oben rechts KachelX + 1 58547 KachelY 38594 -0.33503099 1.03433575 -19.195862 59.263073
    Unten links KachelX 58546 KachelY + 1 38595 -0.33507893 1.03431125 -19.198608 59.261669
    Unten rechts KachelX + 1 58547 KachelY + 1 38595 -0.33503099 1.03431125 -19.195862 59.261669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03433575-1.03431125) × R
    2.45000000000939e-05 × 6371000     		dl = 156.089500000598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03433575-1.03431125) × R
    2.45000000000939e-05 × 6371000     		dr = 156.089500000598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33507893--0.33503099) × cos(1.03433575) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.511096983561335 × 6371000     		do = 156.102174416067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33507893--0.33503099) × cos(1.03431125) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.511118041722664 × 6371000     		du = 156.108606120574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03433575)-sin(1.03431125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511096983561335-0.511118041722664)×R²
    abs(-0.33503099--0.33507893)×2.10581613288019e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10581613288019e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10581613288019e-05×40589641000000     		ar = 24366.4123156788m²