Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58545 / 38601
↖ ↑ ↗
← N 59.253245°
W 19.201355°		 ← 156.15 m → N 59.253245°
W 19.198608°		 →
↑
156.09 m
↓
↑
156.09 m
↓
N 59.251841°
W 19.201355°		 ← 156.15 m →
24 373 m²		 N 59.251841°
W 19.198608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446666717529297 y=0.294506072998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446666717529297 × 217)
    floor (0.446666717529297 × 131072)
    floor (58545.5)     		tx = 58545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294506072998047 × 217)
    floor (0.294506072998047 × 131072)
    floor (38601.5)     		ty = 38601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58545 / 38601 ti = "17/58545/38601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58545/38601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58545 ÷ 217
    58545 ÷ 131072     		x = 0.446662902832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38601 ÷ 217
    38601 ÷ 131072     		y = 0.294502258300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446662902832031 × 2 - 1) × π
    -0.106674194335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33512687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294502258300781 × 2 - 1) × π
    0.410995483398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.29118039126621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33512687} λ = -0.33512687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29118039126621))-π/2
    2×atan(3.63707719709483)-π/2
    2×1.30248027573784-π/2
    2.60496055147569-1.57079632675     		φ = 1.03416422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33512687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.201355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03416422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.253245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58545 KachelY 38601 -0.33512687 1.03416422 -19.201355 59.253245
    Oben rechts KachelX + 1 58546 KachelY 38601 -0.33507893 1.03416422 -19.198608 59.253245
    Unten links KachelX 58545 KachelY + 1 38602 -0.33512687 1.03413972 -19.201355 59.251841
    Unten rechts KachelX + 1 58546 KachelY + 1 38602 -0.33507893 1.03413972 -19.198608 59.251841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03416422-1.03413972) × R
    2.45000000000939e-05 × 6371000     		dl = 156.089500000598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03416422-1.03413972) × R
    2.45000000000939e-05 × 6371000     		dr = 156.089500000598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33512687--0.33507893) × cos(1.03416422) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.511244410030484 × 6371000     		do = 156.147202254502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33512687--0.33507893) × cos(1.03413972) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.511265466043581 × 6371000     		du = 156.153633302884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03416422)-sin(1.03413972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511244410030484-0.511265466043581)×R²
    abs(-0.33507893--0.33512687)×2.10560130973203e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10560130973203e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10560130973203e-05×40589641000000     		ar = 24373.4406373125m²