Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58545 / 38599
↖ ↑ ↗
← N 59.256054°
W 19.201355°		 ← 156.13 m → N 59.256054°
W 19.198608°		 →
↑
156.15 m
↓
↑
156.15 m
↓
N 59.254649°
W 19.201355°		 ← 156.14 m →
24 381 m²		 N 59.254649°
W 19.198608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446666717529297 y=0.294490814208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446666717529297 × 217)
    floor (0.446666717529297 × 131072)
    floor (58545.5)     		tx = 58545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294490814208984 × 217)
    floor (0.294490814208984 × 131072)
    floor (38599.5)     		ty = 38599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58545 / 38599 ti = "17/58545/38599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58545/38599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58545 ÷ 217
    58545 ÷ 131072     		x = 0.446662902832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38599 ÷ 217
    38599 ÷ 131072     		y = 0.294486999511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446662902832031 × 2 - 1) × π
    -0.106674194335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33512687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294486999511719 × 2 - 1) × π
    0.411026000976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.29127626506545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33512687} λ = -0.33512687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29127626506545))-π/2
    2×atan(3.63742591422)-π/2
    2×1.30250478219996-π/2
    2.60500956439992-1.57079632675     		φ = 1.03421324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33512687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.201355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03421324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.256054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58545 KachelY 38599 -0.33512687 1.03421324 -19.201355 59.256054
    Oben rechts KachelX + 1 58546 KachelY 38599 -0.33507893 1.03421324 -19.198608 59.256054
    Unten links KachelX 58545 KachelY + 1 38600 -0.33512687 1.03418873 -19.201355 59.254649
    Unten rechts KachelX + 1 58546 KachelY + 1 38600 -0.33507893 1.03418873 -19.198608 59.254649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03421324-1.03418873) × R
    2.45100000000331e-05 × 6371000     		dl = 156.153210000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03421324-1.03418873) × R
    2.45100000000331e-05 × 6371000     		dr = 156.153210000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33512687--0.33507893) × cos(1.03421324) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.511202279894471 × 6371000     		do = 156.134334626534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33512687--0.33507893) × cos(1.03418873) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.511223345116034 × 6371000     		du = 156.140768487418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03421324)-sin(1.03418873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511202279894471-0.511223345116034)×R²
    abs(-0.33507893--0.33512687)×2.1065221563088e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1065221563088e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1065221563088e-05×40589641000000     		ar = 24381.379878455m²