Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58541 / 86085
↖ ↑ ↗
← S 49.046870°
W 19.212341°		 ← 200.15 m → S 49.046870°
W 19.209595°		 →
↑
200.18 m
↓
↑
200.18 m
↓
S 49.048670°
W 19.212341°		 ← 200.14 m →
40 064 m²		 S 49.048670°
W 19.209595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446636199951172 y=0.656780242919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446636199951172 × 217)
    floor (0.446636199951172 × 131072)
    floor (58541.5)     		tx = 58541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656780242919922 × 217)
    floor (0.656780242919922 × 131072)
    floor (86085.5)     		ty = 86085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58541 / 86085 ti = "17/58541/86085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58541/86085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58541 ÷ 217
    58541 ÷ 131072     		x = 0.446632385253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86085 ÷ 217
    86085 ÷ 131072     		y = 0.656776428222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446632385253906 × 2 - 1) × π
    -0.106735229492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33531861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656776428222656 × 2 - 1) × π
    -0.313552856445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.985055350292534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33531861} λ = -0.33531861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985055350292534))-π/2
    2×atan(0.37341855753824)-π/2
    2×0.357383479819656-π/2
    0.714766959639311-1.57079632675     		φ = -0.85602937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33531861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.212341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85602937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.046870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58541 KachelY 86085 -0.33531861 -0.85602937 -19.212341 -49.046870
    Oben rechts KachelX + 1 58542 KachelY 86085 -0.33527068 -0.85602937 -19.209595 -49.046870
    Unten links KachelX 58541 KachelY + 1 86086 -0.33531861 -0.85606079 -19.212341 -49.048670
    Unten rechts KachelX + 1 58542 KachelY + 1 86086 -0.33527068 -0.85606079 -19.209595 -49.048670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85602937--0.85606079) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dl = 200.176820000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85602937--0.85606079) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dr = 200.176820000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33531861--0.33527068) × cos(-0.85602937) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.655441429546642 × 6371000     		do = 200.146925472587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33531861--0.33527068) × cos(-0.85606079) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.655417699393546 × 6371000     		du = 200.139679184866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85602937)-sin(-0.85606079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655441429546642-0.655417699393546)×R²
    abs(-0.33527068--0.33531861)×2.37301530953138e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37301530953138e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37301530953138e-05×40589641000000     		ar = 40064.0498076851m²