Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58541 / 81574
↖ ↑ ↗
← S 40.258569°
W 19.212341°		 ← 233.03 m → S 40.258569°
W 19.209595°		 →
↑
233.05 m
↓
↑
233.05 m
↓
S 40.260665°
W 19.212341°		 ← 233.03 m →
54 308 m²		 S 40.260665°
W 19.209595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446636199951172 y=0.622364044189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446636199951172 × 217)
    floor (0.446636199951172 × 131072)
    floor (58541.5)     		tx = 58541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622364044189453 × 217)
    floor (0.622364044189453 × 131072)
    floor (81574.5)     		ty = 81574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58541 / 81574 ti = "17/58541/81574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58541/81574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58541 ÷ 217
    58541 ÷ 131072     		x = 0.446632385253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81574 ÷ 217
    81574 ÷ 131072     		y = 0.622360229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446632385253906 × 2 - 1) × π
    -0.106735229492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33531861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622360229492188 × 2 - 1) × π
    -0.244720458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.768811996106461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33531861} λ = -0.33531861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.768811996106461))-π/2
    2×atan(0.463563456506068)-π/2
    2×0.434075874870424-π/2
    0.868151749740847-1.57079632675     		φ = -0.70264458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33531861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.212341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70264458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.258569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58541 KachelY 81574 -0.33531861 -0.70264458 -19.212341 -40.258569
    Oben rechts KachelX + 1 58542 KachelY 81574 -0.33527068 -0.70264458 -19.209595 -40.258569
    Unten links KachelX 58541 KachelY + 1 81575 -0.33531861 -0.70268116 -19.212341 -40.260665
    Unten rechts KachelX + 1 58542 KachelY + 1 81575 -0.33527068 -0.70268116 -19.209595 -40.260665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70264458--0.70268116) × R
    3.65800000000638e-05 × 6371000     		dl = 233.051180000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70264458--0.70268116) × R
    3.65800000000638e-05 × 6371000     		dr = 233.051180000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33531861--0.33527068) × cos(-0.70264458) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.763135829482669 × 6371000     		do = 233.032706056704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33531861--0.33527068) × cos(-0.70268116) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.763112189581726 × 6371000     		du = 233.025487328563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70264458)-sin(-0.70268116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763135829482669-0.763112189581726)×R²
    abs(-0.33527068--0.33531861)×2.36399009428956e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36399009428956e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36399009428956e-05×40589641000000     		ar = 54307.7059647378m²