Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58538 / 37462
↖ ↑ ↗
← N 60.815460°
W 19.220581°		 ← 148.90 m → N 60.815460°
W 19.217835°		 →
↑
148.95 m
↓
↑
148.95 m
↓
N 60.814120°
W 19.220581°		 ← 148.91 m →
22 180 m²		 N 60.814120°
W 19.217835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446613311767578 y=0.285816192626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446613311767578 × 217)
    floor (0.446613311767578 × 131072)
    floor (58538.5)     		tx = 58538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.285816192626953 × 217)
    floor (0.285816192626953 × 131072)
    floor (37462.5)     		ty = 37462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58538 / 37462 ti = "17/58538/37462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58538/37462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58538 ÷ 217
    58538 ÷ 131072     		x = 0.446609497070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37462 ÷ 217
    37462 ÷ 131072     		y = 0.285812377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446609497070312 × 2 - 1) × π
    -0.106781005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33546242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.285812377929688 × 2 - 1) × π
    0.428375244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.34578051993346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33546242} λ = -0.33546242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34578051993346))-π/2
    2×atan(3.84118349114088)-π/2
    2×1.31611316596362-π/2
    2.63222633192724-1.57079632675     		φ = 1.06143001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33546242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.220581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06143001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.815460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58538 KachelY 37462 -0.33546242 1.06143001 -19.220581 60.815460
    Oben rechts KachelX + 1 58539 KachelY 37462 -0.33541449 1.06143001 -19.217835 60.815460
    Unten links KachelX 58538 KachelY + 1 37463 -0.33546242 1.06140663 -19.220581 60.814120
    Unten rechts KachelX + 1 58539 KachelY + 1 37463 -0.33541449 1.06140663 -19.217835 60.814120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06143001-1.06140663) × R
    2.33800000000173e-05 × 6371000     		dl = 148.95398000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06143001-1.06140663) × R
    2.33800000000173e-05 × 6371000     		dr = 148.95398000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33546242--0.33541449) × cos(1.06143001) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.48762410536822 × 6371000     		do = 148.901886692092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33546242--0.33541449) × cos(1.06140663) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.487644517230033 × 6371000     		du = 148.908119699652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06143001)-sin(1.06140663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48762410536822-0.487644517230033)×R²
    abs(-0.33541449--0.33546242)×2.04118618125082e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.04118618125082e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.04118618125082e-05×40589641000000     		ar = 22179.9928689372m²