Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58536 / 81169
↖ ↑ ↗
← S 39.404367°
W 19.226074°		 ← 236 m → S 39.404367°
W 19.223328°		 →
↑
235.98 m
↓
↑
235.98 m
↓
S 39.406489°
W 19.226074°		 ← 235.99 m →
55 690 m²		 S 39.406489°
W 19.223328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446598052978516 y=0.619274139404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446598052978516 × 217)
    floor (0.446598052978516 × 131072)
    floor (58536.5)     		tx = 58536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619274139404297 × 217)
    floor (0.619274139404297 × 131072)
    floor (81169.5)     		ty = 81169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58536 / 81169 ti = "17/58536/81169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58536/81169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58536 ÷ 217
    58536 ÷ 131072     		x = 0.44659423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81169 ÷ 217
    81169 ÷ 131072     		y = 0.619270324707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44659423828125 × 2 - 1) × π
    -0.1068115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33555830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619270324707031 × 2 - 1) × π
    -0.238540649414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.749397551760338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33555830} λ = -0.33555830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.749397551760338))-π/2
    2×atan(0.472651214877681)-π/2
    2×0.441530194850868-π/2
    0.883060389701736-1.57079632675     		φ = -0.68773594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33555830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.226074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68773594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.404367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58536 KachelY 81169 -0.33555830 -0.68773594 -19.226074 -39.404367
    Oben rechts KachelX + 1 58537 KachelY 81169 -0.33551036 -0.68773594 -19.223328 -39.404367
    Unten links KachelX 58536 KachelY + 1 81170 -0.33555830 -0.68777298 -19.226074 -39.406489
    Unten rechts KachelX + 1 58537 KachelY + 1 81170 -0.33551036 -0.68777298 -19.223328 -39.406489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68773594--0.68777298) × R
    3.70399999999327e-05 × 6371000     		dl = 235.981839999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68773594--0.68777298) × R
    3.70399999999327e-05 × 6371000     		dr = 235.981839999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33555830--0.33551036) × cos(-0.68773594) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.772685195448436 × 6371000     		do = 235.997947606729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33555830--0.33551036) × cos(-0.68777298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.772661682318832 × 6371000     		du = 235.99076609172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68773594)-sin(-0.68777298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772685195448436-0.772661682318832)×R²
    abs(-0.33551036--0.33555830)×2.35131296040247e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35131296040247e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35131296040247e-05×40589641000000     		ar = 55690.3825651322m²