Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58533 / 81589
↖ ↑ ↗
← S 40.290001°
W 19.234314°		 ← 232.97 m → S 40.290001°
W 19.231567°		 →
↑
232.99 m
↓
↑
232.99 m
↓
S 40.292097°
W 19.234314°		 ← 232.97 m →
54 279 m²		 S 40.292097°
W 19.231567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446575164794922 y=0.622478485107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446575164794922 × 217)
    floor (0.446575164794922 × 131072)
    floor (58533.5)     		tx = 58533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622478485107422 × 217)
    floor (0.622478485107422 × 131072)
    floor (81589.5)     		ty = 81589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58533 / 81589 ti = "17/58533/81589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58533/81589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58533 ÷ 217
    58533 ÷ 131072     		x = 0.446571350097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81589 ÷ 217
    81589 ÷ 131072     		y = 0.622474670410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446571350097656 × 2 - 1) × π
    -0.106857299804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33570211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622474670410156 × 2 - 1) × π
    -0.244949340820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.769531049600761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33570211} λ = -0.33570211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.769531049600761))-π/2
    2×atan(0.463230249394063)-π/2
    2×0.43380157087779-π/2
    0.867603141755581-1.57079632675     		φ = -0.70319318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33570211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.234314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70319318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.290001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58533 KachelY 81589 -0.33570211 -0.70319318 -19.234314 -40.290001
    Oben rechts KachelX + 1 58534 KachelY 81589 -0.33565417 -0.70319318 -19.231567 -40.290001
    Unten links KachelX 58533 KachelY + 1 81590 -0.33570211 -0.70322975 -19.234314 -40.292097
    Unten rechts KachelX + 1 58534 KachelY + 1 81590 -0.33565417 -0.70322975 -19.231567 -40.292097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70319318--0.70322975) × R
    3.65700000000135e-05 × 6371000     		dl = 232.987470000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70319318--0.70322975) × R
    3.65700000000135e-05 × 6371000     		dr = 232.987470000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33570211--0.33565417) × cos(-0.70319318) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.762781188431236 × 6371000     		do = 232.973008934807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33570211--0.33565417) × cos(-0.70322975) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.762757539686486 × 6371000     		du = 232.965785999441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70319318)-sin(-0.70322975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762781188431236-0.762757539686486)×R²
    abs(-0.33565417--0.33570211)×2.36487447499156e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36487447499156e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36487447499156e-05×40589641000000     		ar = 54278.9505091835m²