Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58533 / 36149
↖ ↑ ↗
← N 62.526260°
W 19.234314°		 ← 140.91 m → N 62.526260°
W 19.231567°		 →
↑
140.93 m
↓
↑
140.93 m
↓
N 62.524992°
W 19.234314°		 ← 140.91 m →
19 858 m²		 N 62.524992°
W 19.231567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446575164794922 y=0.275798797607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446575164794922 × 217)
    floor (0.446575164794922 × 131072)
    floor (58533.5)     		tx = 58533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275798797607422 × 217)
    floor (0.275798797607422 × 131072)
    floor (36149.5)     		ty = 36149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58533 / 36149 ti = "17/58533/36149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58533/36149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58533 ÷ 217
    58533 ÷ 131072     		x = 0.446571350097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36149 ÷ 217
    36149 ÷ 131072     		y = 0.275794982910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446571350097656 × 2 - 1) × π
    -0.106857299804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33570211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275794982910156 × 2 - 1) × π
    0.448410034179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.40872166913459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33570211} λ = -0.33570211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40872166913459))-π/2
    2×atan(4.09072276309061)-π/2
    2×1.33104271157073-π/2
    2.66208542314146-1.57079632675     		φ = 1.09128910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33570211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.234314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09128910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.526260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58533 KachelY 36149 -0.33570211 1.09128910 -19.234314 62.526260
    Oben rechts KachelX + 1 58534 KachelY 36149 -0.33565417 1.09128910 -19.231567 62.526260
    Unten links KachelX 58533 KachelY + 1 36150 -0.33570211 1.09126698 -19.234314 62.524992
    Unten rechts KachelX + 1 58534 KachelY + 1 36150 -0.33565417 1.09126698 -19.231567 62.524992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09128910-1.09126698) × R
    2.21199999999033e-05 × 6371000     		dl = 140.926519999384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09128910-1.09126698) × R
    2.21199999999033e-05 × 6371000     		dr = 140.926519999384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33570211--0.33565417) × cos(1.09128910) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.461342032162301 × 6371000     		do = 140.905731566345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33570211--0.33565417) × cos(1.09126698) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.461361657408202 × 6371000     		du = 140.911725621597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09128910)-sin(1.09126698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461342032162301-0.461361657408202)×R²
    abs(-0.33565417--0.33570211)×1.96252459009894e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96252459009894e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96252459009894e-05×40589641000000     		ar = 19857.776759105m²