Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58533 / 28413
↖ ↑ ↗
← N 70.847376°
W 19.234314°		 ← 100.21 m → N 70.847376°
W 19.231567°		 →
↑
100.22 m
↓
↑
100.22 m
↓
N 70.846475°
W 19.234314°		 ← 100.21 m →
10 042 m²		 N 70.846475°
W 19.231567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446575164794922 y=0.216777801513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446575164794922 × 217)
    floor (0.446575164794922 × 131072)
    floor (58533.5)     		tx = 58533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216777801513672 × 217)
    floor (0.216777801513672 × 131072)
    floor (28413.5)     		ty = 28413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58533 / 28413 ti = "17/58533/28413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58533/28413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58533 ÷ 217
    58533 ÷ 131072     		x = 0.446571350097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28413 ÷ 217
    28413 ÷ 131072     		y = 0.216773986816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446571350097656 × 2 - 1) × π
    -0.106857299804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33570211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216773986816406 × 2 - 1) × π
    0.566452026367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.77956152459534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33570211} λ = -0.33570211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77956152459534))-π/2
    2×atan(5.92725689235426)-π/2
    2×1.4036581535881-π/2
    2.80731630717619-1.57079632675     		φ = 1.23651998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33570211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.234314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23651998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.847376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58533 KachelY 28413 -0.33570211 1.23651998 -19.234314 70.847376
    Oben rechts KachelX + 1 58534 KachelY 28413 -0.33565417 1.23651998 -19.231567 70.847376
    Unten links KachelX 58533 KachelY + 1 28414 -0.33570211 1.23650425 -19.234314 70.846475
    Unten rechts KachelX + 1 58534 KachelY + 1 28414 -0.33565417 1.23650425 -19.231567 70.846475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23651998-1.23650425) × R
    1.57299999998806e-05 × 6371000     		dl = 100.215829999239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23651998-1.23650425) × R
    1.57299999998806e-05 × 6371000     		dr = 100.215829999239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33570211--0.33565417) × cos(1.23651998) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.32808565830213 × 6371000     		do = 100.205804970366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33570211--0.33565417) × cos(1.23650425) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.328100517574221 × 6371000     		du = 100.21034337454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23651998)-sin(1.23650425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32808565830213-0.328100517574221)×R²
    abs(-0.33565417--0.33570211)×1.48592720909391e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.48592720909391e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.48592720909391e-05×40589641000000     		ar = 10042.4353259015m²