Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58530 / 81559
↖ ↑ ↗
← S 40.227121°
W 19.242554°		 ← 233.19 m → S 40.227121°
W 19.239807°		 →
↑
233.18 m
↓
↑
233.18 m
↓
S 40.229218°
W 19.242554°		 ← 233.18 m →
54 374 m²		 S 40.229218°
W 19.239807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446552276611328 y=0.622249603271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446552276611328 × 217)
    floor (0.446552276611328 × 131072)
    floor (58530.5)     		tx = 58530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622249603271484 × 217)
    floor (0.622249603271484 × 131072)
    floor (81559.5)     		ty = 81559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58530 / 81559 ti = "17/58530/81559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58530/81559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58530 ÷ 217
    58530 ÷ 131072     		x = 0.446548461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81559 ÷ 217
    81559 ÷ 131072     		y = 0.622245788574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446548461914062 × 2 - 1) × π
    -0.106903076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33584592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622245788574219 × 2 - 1) × π
    -0.244491577148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.76809294261216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33584592} λ = -0.33584592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.76809294261216))-π/2
    2×atan(0.463896903297972)-π/2
    2×0.434350306356184-π/2
    0.868700612712369-1.57079632675     		φ = -0.70209571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33584592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.242554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70209571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.227121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58530 KachelY 81559 -0.33584592 -0.70209571 -19.242554 -40.227121
    Oben rechts KachelX + 1 58531 KachelY 81559 -0.33579798 -0.70209571 -19.239807 -40.227121
    Unten links KachelX 58530 KachelY + 1 81560 -0.33584592 -0.70213231 -19.242554 -40.229218
    Unten rechts KachelX + 1 58531 KachelY + 1 81560 -0.33579798 -0.70213231 -19.239807 -40.229218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70209571--0.70213231) × R
    3.65999999999422e-05 × 6371000     		dl = 233.178599999632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70209571--0.70213231) × R
    3.65999999999422e-05 × 6371000     		dr = 233.178599999632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33584592--0.33579798) × cos(-0.70209571) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.763490415230453 × 6371000     		do = 233.189625054785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33584592--0.33579798) × cos(-0.70213231) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.763466777737876 × 6371000     		du = 233.182405556123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70209571)-sin(-0.70213231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763490415230453-0.763466777737876)×R²
    abs(-0.33579798--0.33584592)×2.36374925767224e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36374925767224e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36374925767224e-05×40589641000000     		ar = 54373.9885944193m²