Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58530 / 28448
↖ ↑ ↗
← N 70.815812°
W 19.242554°		 ← 100.36 m → N 70.815812°
W 19.239807°		 →
↑
100.34 m
↓
↑
100.34 m
↓
N 70.814909°
W 19.242554°		 ← 100.37 m →
10 071 m²		 N 70.814909°
W 19.239807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446552276611328 y=0.217044830322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446552276611328 × 217)
    floor (0.446552276611328 × 131072)
    floor (58530.5)     		tx = 58530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217044830322266 × 217)
    floor (0.217044830322266 × 131072)
    floor (28448.5)     		ty = 28448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58530 / 28448 ti = "17/58530/28448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58530/28448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58530 ÷ 217
    58530 ÷ 131072     		x = 0.446548461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28448 ÷ 217
    28448 ÷ 131072     		y = 0.217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446548461914062 × 2 - 1) × π
    -0.106903076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33584592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217041015625 × 2 - 1) × π
    0.56591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77788373310864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33584592} λ = -0.33584592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77788373310864))-π/2
    2×atan(5.9173205291045)-π/2
    2×1.40338270571603-π/2
    2.80676541143205-1.57079632675     		φ = 1.23596908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33584592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.242554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23596908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.815812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58530 KachelY 28448 -0.33584592 1.23596908 -19.242554 70.815812
    Oben rechts KachelX + 1 58531 KachelY 28448 -0.33579798 1.23596908 -19.239807 70.815812
    Unten links KachelX 58530 KachelY + 1 28449 -0.33584592 1.23595333 -19.242554 70.814909
    Unten rechts KachelX + 1 58531 KachelY + 1 28449 -0.33579798 1.23595333 -19.239807 70.814909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23596908-1.23595333) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dl = 100.343249999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23596908-1.23595333) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dr = 100.343249999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33584592--0.33579798) × cos(1.23596908) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.328606015060954 × 6371000     		do = 100.364735318493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33584592--0.33579798) × cos(1.23595333) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.328620890376886 × 6371000     		du = 100.36927862287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23596908)-sin(1.23595333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328606015060954-0.328620890376886)×R²
    abs(-0.33579798--0.33584592)×1.48753159325832e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.48753159325832e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.48753159325832e-05×40589641000000     		ar = 10071.1516723758m²