Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58529 / 39097
↖ ↑ ↗
← N 58.549628°
W 19.245301°		 ← 159.36 m → N 58.549628°
W 19.242554°		 →
↑
159.34 m
↓
↑
159.34 m
↓
N 58.548195°
W 19.245301°		 ← 159.37 m →
25 393 m²		 N 58.548195°
W 19.242554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446544647216797 y=0.298290252685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446544647216797 × 217)
    floor (0.446544647216797 × 131072)
    floor (58529.5)     		tx = 58529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298290252685547 × 217)
    floor (0.298290252685547 × 131072)
    floor (39097.5)     		ty = 39097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58529 / 39097 ti = "17/58529/39097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58529/39097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58529 ÷ 217
    58529 ÷ 131072     		x = 0.446540832519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39097 ÷ 217
    39097 ÷ 131072     		y = 0.298286437988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446540832519531 × 2 - 1) × π
    -0.106918334960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33589386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298286437988281 × 2 - 1) × π
    0.403427124023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.26740368905466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33589386} λ = -0.33589386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26740368905466))-π/2
    2×atan(3.55161947304513)-π/2
    2×1.29634005207113-π/2
    2.59268010414226-1.57079632675     		φ = 1.02188378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33589386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.245301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02188378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.549628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58529 KachelY 39097 -0.33589386 1.02188378 -19.245301 58.549628
    Oben rechts KachelX + 1 58530 KachelY 39097 -0.33584592 1.02188378 -19.242554 58.549628
    Unten links KachelX 58529 KachelY + 1 39098 -0.33589386 1.02185877 -19.245301 58.548195
    Unten rechts KachelX + 1 58530 KachelY + 1 39098 -0.33584592 1.02185877 -19.242554 58.548195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02188378-1.02185877) × R
    2.5010000000103e-05 × 6371000     		dl = 159.338710000656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02188378-1.02185877) × R
    2.5010000000103e-05 × 6371000     		dr = 159.338710000656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33589386--0.33584592) × cos(1.02188378) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.521759839536407 × 6371000     		do = 159.358885092584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33589386--0.33584592) × cos(1.02185877) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.521781175214543 × 6371000     		du = 159.365401557867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02188378)-sin(1.02185877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521759839536407-0.521781175214543)×R²
    abs(-0.33584592--0.33589386)×2.1335678135892e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1335678135892e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1335678135892e-05×40589641000000     		ar = 25392.558341636m²