Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58528 / 38623
↖ ↑ ↗
← N 59.222340°
W 19.248047°		 ← 156.26 m → N 59.222340°
W 19.245301°		 →
↑
156.28 m
↓
↑
156.28 m
↓
N 59.220934°
W 19.248047°		 ← 156.26 m →
24 420 m²		 N 59.220934°
W 19.245301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446537017822266 y=0.294673919677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446537017822266 × 217)
    floor (0.446537017822266 × 131072)
    floor (58528.5)     		tx = 58528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294673919677734 × 217)
    floor (0.294673919677734 × 131072)
    floor (38623.5)     		ty = 38623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58528 / 38623 ti = "17/58528/38623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58528/38623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58528 ÷ 217
    58528 ÷ 131072     		x = 0.446533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38623 ÷ 217
    38623 ÷ 131072     		y = 0.294670104980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446533203125 × 2 - 1) × π
    -0.10693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33594179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294670104980469 × 2 - 1) × π
    0.410659790039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.29012577947457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33594179} λ = -0.33594179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29012577947457))-π/2
    2×atan(3.63324351447443)-π/2
    2×1.30221057135381-π/2
    2.60442114270762-1.57079632675     		φ = 1.03362482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33594179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.248047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03362482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.222340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58528 KachelY 38623 -0.33594179 1.03362482 -19.248047 59.222340
    Oben rechts KachelX + 1 58529 KachelY 38623 -0.33589386 1.03362482 -19.245301 59.222340
    Unten links KachelX 58528 KachelY + 1 38624 -0.33594179 1.03360029 -19.248047 59.220934
    Unten rechts KachelX + 1 58529 KachelY + 1 38624 -0.33589386 1.03360029 -19.245301 59.220934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03362482-1.03360029) × R
    2.45299999999116e-05 × 6371000     		dl = 156.280629999437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03362482-1.03360029) × R
    2.45299999999116e-05 × 6371000     		dr = 156.280629999437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33594179--0.33589386) × cos(1.03362482) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.511707915072074 × 6371000     		do = 156.256167713572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33594179--0.33589386) × cos(1.03360029) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.511728990100129 × 6371000     		du = 156.262603226921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03362482)-sin(1.03360029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511707915072074-0.511728990100129)×R²
    abs(-0.33589386--0.33594179)×2.10750280550398e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.10750280550398e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.10750280550398e-05×40589641000000     		ar = 24420.3152058204m²