Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58526 / 39102
↖ ↑ ↗
← N 58.542462°
W 19.253540°		 ← 159.39 m → N 58.542462°
W 19.250793°		 →
↑
159.40 m
↓
↑
159.40 m
↓
N 58.541028°
W 19.253540°		 ← 159.40 m →
25 408 m²		 N 58.541028°
W 19.250793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446521759033203 y=0.298328399658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446521759033203 × 217)
    floor (0.446521759033203 × 131072)
    floor (58526.5)     		tx = 58526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298328399658203 × 217)
    floor (0.298328399658203 × 131072)
    floor (39102.5)     		ty = 39102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58526 / 39102 ti = "17/58526/39102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58526/39102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58526 ÷ 217
    58526 ÷ 131072     		x = 0.446517944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39102 ÷ 217
    39102 ÷ 131072     		y = 0.298324584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446517944335938 × 2 - 1) × π
    -0.106964111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33603767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298324584960938 × 2 - 1) × π
    0.403350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26716400455656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33603767} λ = -0.33603767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26716400455656))-π/2
    2×atan(3.55076830692402)-π/2
    2×1.29627751680522-π/2
    2.59255503361044-1.57079632675     		φ = 1.02175871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33603767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.253540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02175871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.542462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58526 KachelY 39102 -0.33603767 1.02175871 -19.253540 58.542462
    Oben rechts KachelX + 1 58527 KachelY 39102 -0.33598973 1.02175871 -19.250793 58.542462
    Unten links KachelX 58526 KachelY + 1 39103 -0.33603767 1.02173369 -19.253540 58.541028
    Unten rechts KachelX + 1 58527 KachelY + 1 39103 -0.33598973 1.02173369 -19.250793 58.541028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02175871-1.02173369) × R
    2.50200000000422e-05 × 6371000     		dl = 159.402420000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02175871-1.02173369) × R
    2.50200000000422e-05 × 6371000     		dr = 159.402420000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33603767--0.33598973) × cos(1.02175871) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.521866531723754 × 6371000     		do = 159.391471633041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33603767--0.33598973) × cos(1.02173369) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.521887874299765 × 6371000     		du = 159.397990205113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02175871)-sin(1.02173369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521866531723754-0.521887874299765)×R²
    abs(-0.33598973--0.33603767)×2.1342576011496e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1342576011496e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1342576011496e-05×40589641000000     		ar = 25407.9058452778m²