Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58525 / 86245
↖ ↑ ↗
← S 49.334072°
W 19.256286°		 ← 198.99 m → S 49.334072°
W 19.253540°		 →
↑
198.97 m
↓
↑
198.97 m
↓
S 49.335861°
W 19.256286°		 ← 198.98 m →
39 591 m²		 S 49.335861°
W 19.253540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446514129638672 y=0.658000946044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446514129638672 × 217)
    floor (0.446514129638672 × 131072)
    floor (58525.5)     		tx = 58525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658000946044922 × 217)
    floor (0.658000946044922 × 131072)
    floor (86245.5)     		ty = 86245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58525 / 86245 ti = "17/58525/86245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58525/86245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58525 ÷ 217
    58525 ÷ 131072     		x = 0.446510314941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86245 ÷ 217
    86245 ÷ 131072     		y = 0.657997131347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446510314941406 × 2 - 1) × π
    -0.106979370117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33608560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657997131347656 × 2 - 1) × π
    -0.315994262695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.992725254231743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33608560} λ = -0.33608560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.992725254231743))-π/2
    2×atan(0.370565428671808)-π/2
    2×0.354877170065498-π/2
    0.709754340130996-1.57079632675     		φ = -0.86104199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33608560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.256286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86104199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.334072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58525 KachelY 86245 -0.33608560 -0.86104199 -19.256286 -49.334072
    Oben rechts KachelX + 1 58526 KachelY 86245 -0.33603767 -0.86104199 -19.253540 -49.334072
    Unten links KachelX 58525 KachelY + 1 86246 -0.33608560 -0.86107322 -19.256286 -49.335861
    Unten rechts KachelX + 1 58526 KachelY + 1 86246 -0.33603767 -0.86107322 -19.253540 -49.335861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86104199--0.86107322) × R
    3.12299999999377e-05 × 6371000     		dl = 198.966329999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86104199--0.86107322) × R
    3.12299999999377e-05 × 6371000     		dr = 198.966329999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33608560--0.33603767) × cos(-0.86104199) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.651647449745109 × 6371000     		do = 198.988388098381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33608560--0.33603767) × cos(-0.86107322) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.651623760785751 × 6371000     		du = 198.981154389663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86104199)-sin(-0.86107322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651647449745109-0.651623760785751)×R²
    abs(-0.33603767--0.33608560)×2.36889593576706e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36889593576706e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36889593576706e-05×40589641000000     		ar = 39591.2696633021m²