Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58525 / 39085
↖ ↑ ↗
← N 58.566820°
W 19.256286°		 ← 159.25 m → N 58.566820°
W 19.253540°		 →
↑
159.28 m
↓
↑
159.28 m
↓
N 58.565388°
W 19.256286°		 ← 159.25 m →
25 365 m²		 N 58.565388°
W 19.253540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446514129638672 y=0.298198699951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446514129638672 × 217)
    floor (0.446514129638672 × 131072)
    floor (58525.5)     		tx = 58525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298198699951172 × 217)
    floor (0.298198699951172 × 131072)
    floor (39085.5)     		ty = 39085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58525 / 39085 ti = "17/58525/39085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58525/39085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58525 ÷ 217
    58525 ÷ 131072     		x = 0.446510314941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39085 ÷ 217
    39085 ÷ 131072     		y = 0.298194885253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446510314941406 × 2 - 1) × π
    -0.106979370117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33608560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298194885253906 × 2 - 1) × π
    0.403610229492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.26797893185011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33608560} λ = -0.33608560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26797893185011))-π/2
    2×atan(3.55366310429486)-π/2
    2×1.29649008454773-π/2
    2.59298016909545-1.57079632675     		φ = 1.02218384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33608560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.256286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02218384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.566820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58525 KachelY 39085 -0.33608560 1.02218384 -19.256286 58.566820
    Oben rechts KachelX + 1 58526 KachelY 39085 -0.33603767 1.02218384 -19.253540 58.566820
    Unten links KachelX 58525 KachelY + 1 39086 -0.33608560 1.02215884 -19.256286 58.565388
    Unten rechts KachelX + 1 58526 KachelY + 1 39086 -0.33603767 1.02215884 -19.253540 58.565388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02218384-1.02215884) × R
    2.50000000001638e-05 × 6371000     		dl = 159.275000001043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02218384-1.02215884) × R
    2.50000000001638e-05 × 6371000     		dr = 159.275000001043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33608560--0.33603767) × cos(1.02218384) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.521503837141386 × 6371000     		do = 159.247470362196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33608560--0.33603767) × cos(1.02215884) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.52152516820183 × 6371000     		du = 159.253984058115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02218384)-sin(1.02215884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521503837141386-0.52152516820183)×R²
    abs(-0.33603767--0.33608560)×2.13310604435524e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.13310604435524e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.13310604435524e-05×40589641000000     		ar = 25364.6595776917m²