Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58524 / 86132
↖ ↑ ↗
← S 49.131408°
W 19.259033°		 ← 199.85 m → S 49.131408°
W 19.256286°		 →
↑
199.86 m
↓
↑
199.86 m
↓
S 49.133206°
W 19.259033°		 ← 199.84 m →
39 941 m²		 S 49.133206°
W 19.256286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446506500244141 y=0.657138824462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446506500244141 × 217)
    floor (0.446506500244141 × 131072)
    floor (58524.5)     		tx = 58524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657138824462891 × 217)
    floor (0.657138824462891 × 131072)
    floor (86132.5)     		ty = 86132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58524 / 86132 ti = "17/58524/86132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58524/86132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58524 ÷ 217
    58524 ÷ 131072     		x = 0.446502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86132 ÷ 217
    86132 ÷ 131072     		y = 0.657135009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446502685546875 × 2 - 1) × π
    -0.10699462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33613354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657135009765625 × 2 - 1) × π
    -0.31427001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.987308384574677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33613354} λ = -0.33613354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.987308384574677))-π/2
    2×atan(0.372578179781957)-π/2
    2×0.35664574192352-π/2
    0.713291483847041-1.57079632675     		φ = -0.85750484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33613354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.259033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85750484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.131408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58524 KachelY 86132 -0.33613354 -0.85750484 -19.259033 -49.131408
    Oben rechts KachelX + 1 58525 KachelY 86132 -0.33608560 -0.85750484 -19.256286 -49.131408
    Unten links KachelX 58524 KachelY + 1 86133 -0.33613354 -0.85753621 -19.259033 -49.133206
    Unten rechts KachelX + 1 58525 KachelY + 1 86133 -0.33608560 -0.85753621 -19.256286 -49.133206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85750484--0.85753621) × R
    3.1369999999975e-05 × 6371000     		dl = 199.858269999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85750484--0.85753621) × R
    3.1369999999975e-05 × 6371000     		dr = 199.858269999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33613354--0.33608560) × cos(-0.85750484) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.654326373671995 × 6371000     		do = 199.848116880386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33613354--0.33608560) × cos(-0.85753621) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.654302650971148 × 6371000     		du = 199.840871356925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85750484)-sin(-0.85753621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654326373671995-0.654302650971148)×R²
    abs(-0.33608560--0.33613354)×2.3722700847606e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3722700847606e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3722700847606e-05×40589641000000     		ar = 39940.5748668875m²