Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58524 / 81101
↖ ↑ ↗
← S 39.259905°
W 19.259033°		 ← 236.49 m → S 39.259905°
W 19.256286°		 →
↑
236.49 m
↓
↑
236.49 m
↓
S 39.262031°
W 19.259033°		 ← 236.48 m →
55 926 m²		 S 39.262031°
W 19.256286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446506500244141 y=0.618755340576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446506500244141 × 217)
    floor (0.446506500244141 × 131072)
    floor (58524.5)     		tx = 58524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618755340576172 × 217)
    floor (0.618755340576172 × 131072)
    floor (81101.5)     		ty = 81101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58524 / 81101 ti = "17/58524/81101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58524/81101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58524 ÷ 217
    58524 ÷ 131072     		x = 0.446502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81101 ÷ 217
    81101 ÷ 131072     		y = 0.618751525878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446502685546875 × 2 - 1) × π
    -0.10699462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33613354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618751525878906 × 2 - 1) × π
    -0.237503051757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.746137842586174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33613354} λ = -0.33613354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746137842586174))-π/2
    2×atan(0.474194434235664)-π/2
    2×0.442790861884889-π/2
    0.885581723769778-1.57079632675     		φ = -0.68521460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33613354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.259033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68521460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.259905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58524 KachelY 81101 -0.33613354 -0.68521460 -19.259033 -39.259905
    Oben rechts KachelX + 1 58525 KachelY 81101 -0.33608560 -0.68521460 -19.256286 -39.259905
    Unten links KachelX 58524 KachelY + 1 81102 -0.33613354 -0.68525172 -19.259033 -39.262031
    Unten rechts KachelX + 1 58525 KachelY + 1 81102 -0.33608560 -0.68525172 -19.256286 -39.262031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68521460--0.68525172) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dl = 236.49152000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68521460--0.68525172) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dr = 236.49152000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33613354--0.33608560) × cos(-0.68521460) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.774283257632487 × 6371000     		do = 236.486036932132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33613354--0.33608560) × cos(-0.68525172) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.774259766108421 × 6371000     		du = 236.47886201601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68521460)-sin(-0.68525172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774283257632487-0.774259766108421)×R²
    abs(-0.33608560--0.33613354)×2.34915240665545e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34915240665545e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34915240665545e-05×40589641000000     		ar = 55926.0939360198m²