Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58524 / 39092
↖ ↑ ↗
← N 58.556792°
W 19.259033°		 ← 159.33 m → N 58.556792°
W 19.256286°		 →
↑
159.27 m
↓
↑
159.27 m
↓
N 58.555360°
W 19.259033°		 ← 159.33 m →
25 377 m²		 N 58.555360°
W 19.256286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446506500244141 y=0.298252105712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446506500244141 × 217)
    floor (0.446506500244141 × 131072)
    floor (58524.5)     		tx = 58524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298252105712891 × 217)
    floor (0.298252105712891 × 131072)
    floor (39092.5)     		ty = 39092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58524 / 39092 ti = "17/58524/39092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58524/39092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58524 ÷ 217
    58524 ÷ 131072     		x = 0.446502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39092 ÷ 217
    39092 ÷ 131072     		y = 0.298248291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446502685546875 × 2 - 1) × π
    -0.10699462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33613354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298248291015625 × 2 - 1) × π
    0.40350341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26764337355277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33613354} λ = -0.33613354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26764337355277))-π/2
    2×atan(3.55247084320201)-π/2
    2×1.29640257455158-π/2
    2.59280514910315-1.57079632675     		φ = 1.02200882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33613354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.259033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02200882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.556792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58524 KachelY 39092 -0.33613354 1.02200882 -19.259033 58.556792
    Oben rechts KachelX + 1 58525 KachelY 39092 -0.33608560 1.02200882 -19.256286 58.556792
    Unten links KachelX 58524 KachelY + 1 39093 -0.33613354 1.02198382 -19.259033 58.555360
    Unten rechts KachelX + 1 58525 KachelY + 1 39093 -0.33608560 1.02198382 -19.256286 58.555360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02200882-1.02198382) × R
    2.49999999999417e-05 × 6371000     		dl = 159.274999999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02200882-1.02198382) × R
    2.49999999999417e-05 × 6371000     		dr = 159.274999999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33613354--0.33608560) × cos(1.02200882) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.521653164782159 × 6371000     		do = 159.326303877013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33613354--0.33608560) × cos(1.02198382) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.521674493560389 × 6371000     		du = 159.332818234887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02200882)-sin(1.02198382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521653164782159-0.521674493560389)×R²
    abs(-0.33608560--0.33613354)×2.13287782299121e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13287782299121e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13287782299121e-05×40589641000000     		ar = 25377.2158386078m²