Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58523 / 39084
↖ ↑ ↗
← N 58.568252°
W 19.261780°		 ← 159.27 m → N 58.568252°
W 19.259033°		 →
↑
159.27 m
↓
↑
159.27 m
↓
N 58.566820°
W 19.261780°		 ← 159.28 m →
25 369 m²		 N 58.566820°
W 19.259033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446498870849609 y=0.298191070556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446498870849609 × 217)
    floor (0.446498870849609 × 131072)
    floor (58523.5)     		tx = 58523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298191070556641 × 217)
    floor (0.298191070556641 × 131072)
    floor (39084.5)     		ty = 39084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58523 / 39084 ti = "17/58523/39084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58523/39084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58523 ÷ 217
    58523 ÷ 131072     		x = 0.446495056152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39084 ÷ 217
    39084 ÷ 131072     		y = 0.298187255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446495056152344 × 2 - 1) × π
    -0.107009887695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33618148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298187255859375 × 2 - 1) × π
    0.40362548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26802686874973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33618148} λ = -0.33618148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26802686874973))-π/2
    2×atan(3.55383345996951)-π/2
    2×1.2965025839306-π/2
    2.59300516786119-1.57079632675     		φ = 1.02220884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33618148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.261780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02220884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.568252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58523 KachelY 39084 -0.33618148 1.02220884 -19.261780 58.568252
    Oben rechts KachelX + 1 58524 KachelY 39084 -0.33613354 1.02220884 -19.259033 58.568252
    Unten links KachelX 58523 KachelY + 1 39085 -0.33618148 1.02218384 -19.261780 58.566820
    Unten rechts KachelX + 1 58524 KachelY + 1 39085 -0.33613354 1.02218384 -19.259033 58.566820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02220884-1.02218384) × R
    2.49999999999417e-05 × 6371000     		dl = 159.274999999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02220884-1.02218384) × R
    2.49999999999417e-05 × 6371000     		dr = 159.274999999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33618148--0.33613354) × cos(1.02220884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.521482505755003 × 6371000     		do = 159.274180217172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33618148--0.33613354) × cos(1.02218384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.521503837141386 × 6371000     		du = 159.280695371643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02220884)-sin(1.02218384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521482505755003-0.521503837141386)×R²
    abs(-0.33613354--0.33618148)×2.1331386383272e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1331386383272e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1331386383272e-05×40589641000000     		ar = 25368.9139061047m²