Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58521 / 38537
↖ ↑ ↗
← N 59.342994°
W 19.267273°		 ← 155.74 m → N 59.342994°
W 19.264526°		 →
↑
155.77 m
↓
↑
155.77 m
↓
N 59.341594°
W 19.267273°		 ← 155.74 m →
24 260 m²		 N 59.341594°
W 19.264526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446483612060547 y=0.294017791748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446483612060547 × 217)
    floor (0.446483612060547 × 131072)
    floor (58521.5)     		tx = 58521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294017791748047 × 217)
    floor (0.294017791748047 × 131072)
    floor (38537.5)     		ty = 38537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58521 / 38537 ti = "17/58521/38537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58521/38537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58521 ÷ 217
    58521 ÷ 131072     		x = 0.446479797363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38537 ÷ 217
    38537 ÷ 131072     		y = 0.294013977050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446479797363281 × 2 - 1) × π
    -0.107040405273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.33627735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294013977050781 × 2 - 1) × π
    0.411972045898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.2942483528419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33627735} λ = -0.33627735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2942483528419))-π/2
    2×atan(3.6482527444926)-π/2
    2×1.30326348151479-π/2
    2.60652696302957-1.57079632675     		φ = 1.03573064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33627735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.267273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03573064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.342994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58521 KachelY 38537 -0.33627735 1.03573064 -19.267273 59.342994
    Oben rechts KachelX + 1 58522 KachelY 38537 -0.33622941 1.03573064 -19.264526 59.342994
    Unten links KachelX 58521 KachelY + 1 38538 -0.33627735 1.03570619 -19.267273 59.341594
    Unten rechts KachelX + 1 58522 KachelY + 1 38538 -0.33622941 1.03570619 -19.264526 59.341594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03573064-1.03570619) × R
    2.44499999999537e-05 × 6371000     		dl = 155.770949999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03573064-1.03570619) × R
    2.44499999999537e-05 × 6371000     		dr = 155.770949999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33627735--0.33622941) × cos(1.03573064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.509897546617743 × 6371000     		do = 155.735835499806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33627735--0.33622941) × cos(1.03570619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.509918579214446 × 6371000     		du = 155.742259396219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03573064)-sin(1.03570619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509897546617743-0.509918579214446)×R²
    abs(-0.33622941--0.33627735)×2.10325967030522e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10325967030522e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10325967030522e-05×40589641000000     		ar = 24259.6193742061m²