Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58519 / 39095
↖ ↑ ↗
← N 58.552494°
W 19.272766°		 ← 159.31 m → N 58.552494°
W 19.270020°		 →
↑
159.34 m
↓
↑
159.34 m
↓
N 58.551061°
W 19.272766°		 ← 159.32 m →
25 385 m²		 N 58.551061°
W 19.270020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446468353271484 y=0.298274993896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446468353271484 × 217)
    floor (0.446468353271484 × 131072)
    floor (58519.5)     		tx = 58519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298274993896484 × 217)
    floor (0.298274993896484 × 131072)
    floor (39095.5)     		ty = 39095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58519 / 39095 ti = "17/58519/39095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58519/39095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58519 ÷ 217
    58519 ÷ 131072     		x = 0.446464538574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39095 ÷ 217
    39095 ÷ 131072     		y = 0.298271179199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446464538574219 × 2 - 1) × π
    -0.107070922851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33637322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298271179199219 × 2 - 1) × π
    0.403457641601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.2674995628539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33637322} λ = -0.33637322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2674995628539))-π/2
    2×atan(3.55195999662085)-π/2
    2×1.29636506259747-π/2
    2.59273012519495-1.57079632675     		φ = 1.02193380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33637322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.272766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02193380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.552494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58519 KachelY 39095 -0.33637322 1.02193380 -19.272766 58.552494
    Oben rechts KachelX + 1 58520 KachelY 39095 -0.33632529 1.02193380 -19.270020 58.552494
    Unten links KachelX 58519 KachelY + 1 39096 -0.33637322 1.02190879 -19.272766 58.551061
    Unten rechts KachelX + 1 58520 KachelY + 1 39096 -0.33632529 1.02190879 -19.270020 58.551061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02193380-1.02190879) × R
    2.5010000000103e-05 × 6371000     		dl = 159.338710000656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02193380-1.02190879) × R
    2.5010000000103e-05 × 6371000     		dr = 159.338710000656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33637322--0.33632529) × cos(1.02193380) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.521717167201066 × 6371000     		do = 159.31261326228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33637322--0.33632529) × cos(1.02190879) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.52173850353191 × 6371000     		du = 159.319128567579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02193380)-sin(1.02190879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521717167201066-0.52173850353191)×R²
    abs(-0.33632529--0.33637322)×2.13363308442238e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.13363308442238e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.13363308442238e-05×40589641000000     		ar = 25385.1853554148m²