Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58517 / 39130
↖ ↑ ↗
← N 58.502305°
W 19.278259°		 ← 159.57 m → N 58.502305°
W 19.275513°		 →
↑
159.59 m
↓
↑
159.59 m
↓
N 58.500870°
W 19.278259°		 ← 159.58 m →
25 468 m²		 N 58.500870°
W 19.275513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446453094482422 y=0.298542022705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446453094482422 × 217)
    floor (0.446453094482422 × 131072)
    floor (58517.5)     		tx = 58517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298542022705078 × 217)
    floor (0.298542022705078 × 131072)
    floor (39130.5)     		ty = 39130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58517 / 39130 ti = "17/58517/39130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58517/39130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58517 ÷ 217
    58517 ÷ 131072     		x = 0.446449279785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39130 ÷ 217
    39130 ÷ 131072     		y = 0.298538208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446449279785156 × 2 - 1) × π
    -0.107101440429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33646910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298538208007812 × 2 - 1) × π
    0.402923583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2658217713672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33646910} λ = -0.33646910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2658217713672))-π/2
    2×atan(3.54600554493839)-π/2
    2×1.29592708296409-π/2
    2.59185416592819-1.57079632675     		φ = 1.02105784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33646910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.278259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02105784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.502305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58517 KachelY 39130 -0.33646910 1.02105784 -19.278259 58.502305
    Oben rechts KachelX + 1 58518 KachelY 39130 -0.33642116 1.02105784 -19.275513 58.502305
    Unten links KachelX 58517 KachelY + 1 39131 -0.33646910 1.02103279 -19.278259 58.500870
    Unten rechts KachelX + 1 58518 KachelY + 1 39131 -0.33642116 1.02103279 -19.275513 58.500870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02105784-1.02103279) × R
    2.5050000000082e-05 × 6371000     		dl = 159.593550000522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02105784-1.02103279) × R
    2.5050000000082e-05 × 6371000     		dr = 159.593550000522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33646910--0.33642116) × cos(1.02105784) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.522464264639938 × 6371000     		do = 159.574034651289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33646910--0.33642116) × cos(1.02103279) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.522485623638634 × 6371000     		du = 159.580558239271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02105784)-sin(1.02103279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522464264639938-0.522485623638634)×R²
    abs(-0.33642116--0.33646910)×2.13589986961527e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13589986961527e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13589986961527e-05×40589641000000     		ar = 25467.5072405782m²