Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58517 / 35974
↖ ↑ ↗
← N 62.747181°
W 19.278259°		 ← 139.86 m → N 62.747181°
W 19.275513°		 →
↑
139.84 m
↓
↑
139.84 m
↓
N 62.745923°
W 19.278259°		 ← 139.87 m →
19 559 m²		 N 62.745923°
W 19.275513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446453094482422 y=0.274463653564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446453094482422 × 217)
    floor (0.446453094482422 × 131072)
    floor (58517.5)     		tx = 58517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274463653564453 × 217)
    floor (0.274463653564453 × 131072)
    floor (35974.5)     		ty = 35974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58517 / 35974 ti = "17/58517/35974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58517/35974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58517 ÷ 217
    58517 ÷ 131072     		x = 0.446449279785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35974 ÷ 217
    35974 ÷ 131072     		y = 0.274459838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446449279785156 × 2 - 1) × π
    -0.107101440429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33646910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274459838867188 × 2 - 1) × π
    0.451080322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4171106265681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33646910} λ = -0.33646910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4171106265681))-π/2
    2×atan(4.12518400707746)-π/2
    2×1.33297061265645-π/2
    2.66594122531291-1.57079632675     		φ = 1.09514490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33646910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.278259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09514490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.747181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58517 KachelY 35974 -0.33646910 1.09514490 -19.278259 62.747181
    Oben rechts KachelX + 1 58518 KachelY 35974 -0.33642116 1.09514490 -19.275513 62.747181
    Unten links KachelX 58517 KachelY + 1 35975 -0.33646910 1.09512295 -19.278259 62.745923
    Unten rechts KachelX + 1 58518 KachelY + 1 35975 -0.33642116 1.09512295 -19.275513 62.745923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09514490-1.09512295) × R
    2.19500000000483e-05 × 6371000     		dl = 139.843450000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09514490-1.09512295) × R
    2.19500000000483e-05 × 6371000     		dr = 139.843450000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33646910--0.33642116) × cos(1.09514490) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.457917659208003 × 6371000     		do = 139.859839922742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33646910--0.33642116) × cos(1.09512295) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.457937172529387 × 6371000     		du = 139.865799793366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09514490)-sin(1.09512295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457917659208003-0.457937172529387)×R²
    abs(-0.33642116--0.33646910)×1.95133213846677e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.95133213846677e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.95133213846677e-05×40589641000000     		ar = 19558.8992566102m²