Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58514 / 37489
↖ ↑ ↗
← N 60.779278°
W 19.286499°		 ← 149.10 m → N 60.779278°
W 19.283752°		 →
↑
149.08 m
↓
↑
149.08 m
↓
N 60.777937°
W 19.286499°		 ← 149.11 m →
22 229 m²		 N 60.777937°
W 19.283752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446430206298828 y=0.286022186279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446430206298828 × 217)
    floor (0.446430206298828 × 131072)
    floor (58514.5)     		tx = 58514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286022186279297 × 217)
    floor (0.286022186279297 × 131072)
    floor (37489.5)     		ty = 37489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58514 / 37489 ti = "17/58514/37489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58514/37489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58514 ÷ 217
    58514 ÷ 131072     		x = 0.446426391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37489 ÷ 217
    37489 ÷ 131072     		y = 0.286018371582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446426391601562 × 2 - 1) × π
    -0.107147216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33661291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286018371582031 × 2 - 1) × π
    0.427963256835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.34448622364371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33661291} λ = -0.33661291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34448622364371))-π/2
    2×atan(3.83621507759328)-π/2
    2×1.3157974225868-π/2
    2.6315948451736-1.57079632675     		φ = 1.06079852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33661291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.286499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06079852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.779278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58514 KachelY 37489 -0.33661291 1.06079852 -19.286499 60.779278
    Oben rechts KachelX + 1 58515 KachelY 37489 -0.33656497 1.06079852 -19.283752 60.779278
    Unten links KachelX 58514 KachelY + 1 37490 -0.33661291 1.06077512 -19.286499 60.777937
    Unten rechts KachelX + 1 58515 KachelY + 1 37490 -0.33656497 1.06077512 -19.283752 60.777937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06079852-1.06077512) × R
    2.34000000001178e-05 × 6371000     		dl = 149.08140000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06079852-1.06077512) × R
    2.34000000001178e-05 × 6371000     		dr = 149.08140000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33661291--0.33656497) × cos(1.06079852) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.488175332774025 × 6371000     		do = 149.101312262155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33661291--0.33656497) × cos(1.06077512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.488195754886903 × 6371000     		du = 149.107549701093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06079852)-sin(1.06077512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.488175332774025-0.488195754886903)×R²
    abs(-0.33656497--0.33661291)×2.04221128782267e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04221128782267e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04221128782267e-05×40589641000000     		ar = 22228.6973181055m²