Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58513 / 38511
↖ ↑ ↗
← N 59.379387°
W 19.289246°		 ← 155.57 m → N 59.379387°
W 19.286499°		 →
↑
155.58 m
↓
↑
155.58 m
↓
N 59.377988°
W 19.289246°		 ← 155.58 m →
24 204 m²		 N 59.377988°
W 19.286499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446422576904297 y=0.293819427490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446422576904297 × 217)
    floor (0.446422576904297 × 131072)
    floor (58513.5)     		tx = 58513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293819427490234 × 217)
    floor (0.293819427490234 × 131072)
    floor (38511.5)     		ty = 38511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58513 / 38511 ti = "17/58513/38511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58513/38511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58513 ÷ 217
    58513 ÷ 131072     		x = 0.446418762207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38511 ÷ 217
    38511 ÷ 131072     		y = 0.293815612792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446418762207031 × 2 - 1) × π
    -0.107162475585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33666085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293815612792969 × 2 - 1) × π
    0.412368774414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.29549471223202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33666085} λ = -0.33666085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29549471223202))-π/2
    2×atan(3.65280261335514)-π/2
    2×1.30358106900998-π/2
    2.60716213801996-1.57079632675     		φ = 1.03636581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33666085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.289246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03636581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.379387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58513 KachelY 38511 -0.33666085 1.03636581 -19.289246 59.379387
    Oben rechts KachelX + 1 58514 KachelY 38511 -0.33661291 1.03636581 -19.286499 59.379387
    Unten links KachelX 58513 KachelY + 1 38512 -0.33666085 1.03634139 -19.289246 59.377988
    Unten rechts KachelX + 1 58514 KachelY + 1 38512 -0.33661291 1.03634139 -19.286499 59.377988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03636581-1.03634139) × R
    2.4419999999914e-05 × 6371000     		dl = 155.579819999452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03636581-1.03634139) × R
    2.4419999999914e-05 × 6371000     		dr = 155.579819999452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33666085--0.33661291) × cos(1.03636581) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.50935104824537 × 6371000     		do = 155.568920830196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33666085--0.33661291) × cos(1.03634139) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.509372062940262 × 6371000     		du = 155.575339258934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03636581)-sin(1.03634139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50935104824537-0.509372062940262)×R²
    abs(-0.33661291--0.33666085)×2.10146948925738e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10146948925738e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10146948925738e-05×40589641000000     		ar = 24203.8839903537m²