Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58513 / 38510
↖ ↑ ↗
← N 59.380786°
W 19.289246°		 ← 155.56 m → N 59.380786°
W 19.286499°		 →
↑
155.58 m
↓
↑
155.58 m
↓
N 59.379387°
W 19.289246°		 ← 155.57 m →
24 203 m²		 N 59.379387°
W 19.286499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446422576904297 y=0.293811798095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446422576904297 × 217)
    floor (0.446422576904297 × 131072)
    floor (58513.5)     		tx = 58513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293811798095703 × 217)
    floor (0.293811798095703 × 131072)
    floor (38510.5)     		ty = 38510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58513 / 38510 ti = "17/58513/38510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58513/38510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58513 ÷ 217
    58513 ÷ 131072     		x = 0.446418762207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38510 ÷ 217
    38510 ÷ 131072     		y = 0.293807983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446418762207031 × 2 - 1) × π
    -0.107162475585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33666085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293807983398438 × 2 - 1) × π
    0.412384033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29554264913164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33666085} λ = -0.33666085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29554264913164))-π/2
    2×atan(3.65297772158439)-π/2
    2×1.30359327711318-π/2
    2.60718655422636-1.57079632675     		φ = 1.03639023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33666085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.289246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03639023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.380786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58513 KachelY 38510 -0.33666085 1.03639023 -19.289246 59.380786
    Oben rechts KachelX + 1 58514 KachelY 38510 -0.33661291 1.03639023 -19.286499 59.380786
    Unten links KachelX 58513 KachelY + 1 38511 -0.33666085 1.03636581 -19.289246 59.379387
    Unten rechts KachelX + 1 58514 KachelY + 1 38511 -0.33661291 1.03636581 -19.286499 59.379387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03639023-1.03636581) × R
    2.4420000000136e-05 × 6371000     		dl = 155.579820000866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03639023-1.03636581) × R
    2.4420000000136e-05 × 6371000     		dr = 155.579820000866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33666085--0.33661291) × cos(1.03639023) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.509330033246732 × 6371000     		do = 155.562502308686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33666085--0.33661291) × cos(1.03636581) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.50935104824537 × 6371000     		du = 155.568920830196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03639023)-sin(1.03636581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509330033246732-0.50935104824537)×R²
    abs(-0.33661291--0.33666085)×2.10149986373809e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10149986373809e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10149986373809e-05×40589641000000     		ar = 24202.8854054849m²