Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58513 / 36013
↖ ↑ ↗
← N 62.698089°
W 19.289246°		 ← 140.09 m → N 62.698089°
W 19.286499°		 →
↑
140.10 m
↓
↑
140.10 m
↓
N 62.696829°
W 19.289246°		 ← 140.10 m →
19 627 m²		 N 62.696829°
W 19.286499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446422576904297 y=0.274761199951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446422576904297 × 217)
    floor (0.446422576904297 × 131072)
    floor (58513.5)     		tx = 58513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274761199951172 × 217)
    floor (0.274761199951172 × 131072)
    floor (36013.5)     		ty = 36013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58513 / 36013 ti = "17/58513/36013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58513/36013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58513 ÷ 217
    58513 ÷ 131072     		x = 0.446418762207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36013 ÷ 217
    36013 ÷ 131072     		y = 0.274757385253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446418762207031 × 2 - 1) × π
    -0.107162475585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33666085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274757385253906 × 2 - 1) × π
    0.450485229492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.41524108748292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33666085} λ = -0.33666085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41524108748292))-π/2
    2×atan(4.11747901897505)-π/2
    2×1.33254220931999-π/2
    2.66508441863999-1.57079632675     		φ = 1.09428809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33666085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.289246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09428809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.698089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58513 KachelY 36013 -0.33666085 1.09428809 -19.289246 62.698089
    Oben rechts KachelX + 1 58514 KachelY 36013 -0.33661291 1.09428809 -19.286499 62.698089
    Unten links KachelX 58513 KachelY + 1 36014 -0.33666085 1.09426610 -19.289246 62.696829
    Unten rechts KachelX + 1 58514 KachelY + 1 36014 -0.33661291 1.09426610 -19.286499 62.696829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09428809-1.09426610) × R
    2.19900000000273e-05 × 6371000     		dl = 140.098290000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09428809-1.09426610) × R
    2.19900000000273e-05 × 6371000     		dr = 140.098290000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33666085--0.33661291) × cos(1.09428809) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.458679190502955 × 6371000     		do = 140.092431182036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33666085--0.33661291) × cos(1.09426610) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.458698730748621 × 6371000     		du = 140.098399276029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09428809)-sin(1.09426610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458679190502955-0.458698730748621)×R²
    abs(-0.33661291--0.33666085)×1.95402456659166e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.95402456659166e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.95402456659166e-05×40589641000000     		ar = 19627.1281110538m²