Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58512 / 37527
↖ ↑ ↗
← N 60.728287°
W 19.291992°		 ← 149.31 m → N 60.728287°
W 19.289246°		 →
↑
149.34 m
↓
↑
149.34 m
↓
N 60.726944°
W 19.291992°		 ← 149.31 m →
22 297 m²		 N 60.726944°
W 19.289246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446414947509766 y=0.286312103271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446414947509766 × 217)
    floor (0.446414947509766 × 131072)
    floor (58512.5)     		tx = 58512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286312103271484 × 217)
    floor (0.286312103271484 × 131072)
    floor (37527.5)     		ty = 37527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58512 / 37527 ti = "17/58512/37527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58512/37527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58512 ÷ 217
    58512 ÷ 131072     		x = 0.4464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37527 ÷ 217
    37527 ÷ 131072     		y = 0.286308288574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.107177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33670878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286308288574219 × 2 - 1) × π
    0.427383422851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.34266462145815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33670878} λ = -0.33670878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34266462145815))-π/2
    2×atan(3.82923338069139)-π/2
    2×1.31535243839447-π/2
    2.63070487678893-1.57079632675     		φ = 1.05990855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33670878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.291992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05990855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.728287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58512 KachelY 37527 -0.33670878 1.05990855 -19.291992 60.728287
    Oben rechts KachelX + 1 58513 KachelY 37527 -0.33666085 1.05990855 -19.289246 60.728287
    Unten links KachelX 58512 KachelY + 1 37528 -0.33670878 1.05988511 -19.291992 60.726944
    Unten rechts KachelX + 1 58513 KachelY + 1 37528 -0.33666085 1.05988511 -19.289246 60.726944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05990855-1.05988511) × R
    2.34400000000967e-05 × 6371000     		dl = 149.336240000616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05990855-1.05988511) × R
    2.34400000000967e-05 × 6371000     		dr = 149.336240000616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33670878--0.33666085) × cos(1.05990855) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.488951856725033 × 6371000     		do = 149.307331541744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33670878--0.33666085) × cos(1.05988511) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.488972303555188 × 6371000     		du = 149.313575227307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05990855)-sin(1.05988511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.488951856725033-0.488972303555188)×R²
    abs(-0.33666085--0.33670878)×2.04468301552296e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.04468301552296e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.04468301552296e-05×40589641000000     		ar = 22297.4617022023m²