Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58511 / 86159
↖ ↑ ↗
← S 49.179908°
W 19.294739°		 ← 199.65 m → S 49.179908°
W 19.291992°		 →
↑
199.67 m
↓
↑
199.67 m
↓
S 49.181704°
W 19.294739°		 ← 199.65 m →
39 863 m²		 S 49.181704°
W 19.291992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446407318115234 y=0.657344818115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446407318115234 × 217)
    floor (0.446407318115234 × 131072)
    floor (58511.5)     		tx = 58511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657344818115234 × 217)
    floor (0.657344818115234 × 131072)
    floor (86159.5)     		ty = 86159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58511 / 86159 ti = "17/58511/86159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58511/86159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58511 ÷ 217
    58511 ÷ 131072     		x = 0.446403503417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86159 ÷ 217
    86159 ÷ 131072     		y = 0.657341003417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446403503417969 × 2 - 1) × π
    -0.107192993164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33675672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657341003417969 × 2 - 1) × π
    -0.314682006835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.988602680864418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33675672} λ = -0.33675672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.988602680864418))-π/2
    2×atan(0.372096265163653)-π/2
    2×0.356222503035696-π/2
    0.712445006071391-1.57079632675     		φ = -0.85835132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33675672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.294739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85835132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.179908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58511 KachelY 86159 -0.33675672 -0.85835132 -19.294739 -49.179908
    Oben rechts KachelX + 1 58512 KachelY 86159 -0.33670878 -0.85835132 -19.291992 -49.179908
    Unten links KachelX 58511 KachelY + 1 86160 -0.33675672 -0.85838266 -19.294739 -49.181704
    Unten rechts KachelX + 1 58512 KachelY + 1 86160 -0.33670878 -0.85838266 -19.291992 -49.181704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85835132--0.85838266) × R
    3.13399999999353e-05 × 6371000     		dl = 199.667139999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85835132--0.85838266) × R
    3.13399999999353e-05 × 6371000     		dr = 199.667139999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33675672--0.33670878) × cos(-0.85835132) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.653686020764757 × 6371000     		do = 199.652536619832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33675672--0.33670878) × cos(-0.85838266) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.653662303401283 × 6371000     		du = 199.645292726542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85835132)-sin(-0.85838266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653686020764757-0.653662303401283)×R²
    abs(-0.33670878--0.33675672)×2.37173634738408e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37173634738408e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37173634738408e-05×40589641000000     		ar = 39863.3278001449m²