Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58511 / 37526
↖ ↑ ↗
← N 60.729630°
W 19.294739°		 ← 149.33 m → N 60.729630°
W 19.291992°		 →
↑
149.34 m
↓
↑
149.34 m
↓
N 60.728287°
W 19.294739°		 ← 149.34 m →
22 301 m²		 N 60.728287°
W 19.291992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446407318115234 y=0.286304473876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446407318115234 × 217)
    floor (0.446407318115234 × 131072)
    floor (58511.5)     		tx = 58511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286304473876953 × 217)
    floor (0.286304473876953 × 131072)
    floor (37526.5)     		ty = 37526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58511 / 37526 ti = "17/58511/37526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58511/37526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58511 ÷ 217
    58511 ÷ 131072     		x = 0.446403503417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37526 ÷ 217
    37526 ÷ 131072     		y = 0.286300659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446403503417969 × 2 - 1) × π
    -0.107192993164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33675672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286300659179688 × 2 - 1) × π
    0.427398681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.34271255835777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33675672} λ = -0.33675672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34271255835777))-π/2
    2×atan(3.82941694666734)-π/2
    2×1.31536415756748-π/2
    2.63072831513496-1.57079632675     		φ = 1.05993199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33675672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.294739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05993199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.729630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58511 KachelY 37526 -0.33675672 1.05993199 -19.294739 60.729630
    Oben rechts KachelX + 1 58512 KachelY 37526 -0.33670878 1.05993199 -19.291992 60.729630
    Unten links KachelX 58511 KachelY + 1 37527 -0.33675672 1.05990855 -19.294739 60.728287
    Unten rechts KachelX + 1 58512 KachelY + 1 37527 -0.33670878 1.05990855 -19.291992 60.728287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05993199-1.05990855) × R
    2.34399999998747e-05 × 6371000     		dl = 149.336239999202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05993199-1.05990855) × R
    2.34399999998747e-05 × 6371000     		dr = 149.336239999202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33675672--0.33670878) × cos(1.05993199) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.488931409626231 × 6371000     		do = 149.33223759441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33675672--0.33670878) × cos(1.05990855) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.488951856725033 × 6371000     		du = 149.338482664692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05993199)-sin(1.05990855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.488931409626231-0.488951856725033)×R²
    abs(-0.33670878--0.33675672)×2.04470988016681e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04470988016681e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04470988016681e-05×40589641000000     		ar = 22301.1811816527m²