Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58511 / 37456
↖ ↑ ↗
← N 60.823494°
W 19.294739°		 ← 148.90 m → N 60.823494°
W 19.291992°		 →
↑
148.89 m
↓
↑
148.89 m
↓
N 60.822155°
W 19.294739°		 ← 148.90 m →
22 170 m²		 N 60.822155°
W 19.291992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446407318115234 y=0.285770416259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446407318115234 × 217)
    floor (0.446407318115234 × 131072)
    floor (58511.5)     		tx = 58511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.285770416259766 × 217)
    floor (0.285770416259766 × 131072)
    floor (37456.5)     		ty = 37456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58511 / 37456 ti = "17/58511/37456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58511/37456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58511 ÷ 217
    58511 ÷ 131072     		x = 0.446403503417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37456 ÷ 217
    37456 ÷ 131072     		y = 0.2857666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446403503417969 × 2 - 1) × π
    -0.107192993164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33675672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2857666015625 × 2 - 1) × π
    0.428466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.34606814133118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33675672} λ = -0.33675672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34606814133118))-π/2
    2×atan(3.84228845660374)-π/2
    2×1.31618328272353-π/2
    2.63236656544707-1.57079632675     		φ = 1.06157024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33675672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.294739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06157024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.823494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58511 KachelY 37456 -0.33675672 1.06157024 -19.294739 60.823494
    Oben rechts KachelX + 1 58512 KachelY 37456 -0.33670878 1.06157024 -19.291992 60.823494
    Unten links KachelX 58511 KachelY + 1 37457 -0.33675672 1.06154687 -19.294739 60.822155
    Unten rechts KachelX + 1 58512 KachelY + 1 37457 -0.33670878 1.06154687 -19.291992 60.822155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06157024-1.06154687) × R
    2.33700000000781e-05 × 6371000     		dl = 148.890270000497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06157024-1.06154687) × R
    2.33700000000781e-05 × 6371000     		dr = 148.890270000497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33675672--0.33670878) × cos(1.06157024) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.487501672256347 × 6371000     		do = 148.895559000207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33675672--0.33670878) × cos(1.06154687) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.4875220769856 × 6371000     		du = 148.901791129738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06157024)-sin(1.06154687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.487501672256347-0.4875220769856)×R²
    abs(-0.33670878--0.33675672)×2.04047292521325e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04047292521325e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04047292521325e-05×40589641000000     		ar = 22169.563934092m²