Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58511 / 28445
↖ ↑ ↗
← N 70.818520°
W 19.294739°		 ← 100.35 m → N 70.818520°
W 19.291992°		 →
↑
100.34 m
↓
↑
100.34 m
↓
N 70.817617°
W 19.294739°		 ← 100.36 m →
10 070 m²		 N 70.817617°
W 19.291992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446407318115234 y=0.217021942138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446407318115234 × 217)
    floor (0.446407318115234 × 131072)
    floor (58511.5)     		tx = 58511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217021942138672 × 217)
    floor (0.217021942138672 × 131072)
    floor (28445.5)     		ty = 28445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58511 / 28445 ti = "17/58511/28445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58511/28445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58511 ÷ 217
    58511 ÷ 131072     		x = 0.446403503417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28445 ÷ 217
    28445 ÷ 131072     		y = 0.217018127441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446403503417969 × 2 - 1) × π
    -0.107192993164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33675672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217018127441406 × 2 - 1) × π
    0.565963745117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.7780275438075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33675672} λ = -0.33675672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7780275438075))-π/2
    2×atan(5.91817156429769)-π/2
    2×1.40340633264145-π/2
    2.80681266528289-1.57079632675     		φ = 1.23601634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33675672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.294739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23601634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.818520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58511 KachelY 28445 -0.33675672 1.23601634 -19.294739 70.818520
    Oben rechts KachelX + 1 58512 KachelY 28445 -0.33670878 1.23601634 -19.291992 70.818520
    Unten links KachelX 58511 KachelY + 1 28446 -0.33675672 1.23600059 -19.294739 70.817617
    Unten rechts KachelX + 1 58512 KachelY + 1 28446 -0.33670878 1.23600059 -19.291992 70.817617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23601634-1.23600059) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dl = 100.343249999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23601634-1.23600059) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dr = 100.343249999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33675672--0.33670878) × cos(1.23601634) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.328561379179255 × 6371000     		do = 100.351102371295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33675672--0.33670878) × cos(1.23600059) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.328576254739773 × 6371000     		du = 100.355645750374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23601634)-sin(1.23600059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328561379179255-0.328576254739773)×R²
    abs(-0.33670878--0.33675672)×1.48755605177686e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.48755605177686e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.48755605177686e-05×40589641000000     		ar = 10069.7837019092m²