Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58510 / 28446
↖ ↑ ↗
← N 70.817617°
W 19.297486°		 ← 100.36 m → N 70.817617°
W 19.294739°		 →
↑
100.34 m
↓
↑
100.34 m
↓
N 70.816715°
W 19.297486°		 ← 100.36 m →
10 070 m²		 N 70.816715°
W 19.294739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446399688720703 y=0.217029571533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446399688720703 × 217)
    floor (0.446399688720703 × 131072)
    floor (58510.5)     		tx = 58510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217029571533203 × 217)
    floor (0.217029571533203 × 131072)
    floor (28446.5)     		ty = 28446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58510 / 28446 ti = "17/58510/28446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58510/28446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58510 ÷ 217
    58510 ÷ 131072     		x = 0.446395874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28446 ÷ 217
    28446 ÷ 131072     		y = 0.217025756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446395874023438 × 2 - 1) × π
    -0.107208251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33680466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217025756835938 × 2 - 1) × π
    0.565948486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77797960690788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33680466} λ = -0.33680466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77797960690788))-π/2
    2×atan(5.91788787230119)-π/2
    2×1.40339845735621-π/2
    2.80679691471242-1.57079632675     		φ = 1.23600059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33680466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.297486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23600059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.817617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58510 KachelY 28446 -0.33680466 1.23600059 -19.297486 70.817617
    Oben rechts KachelX + 1 58511 KachelY 28446 -0.33675672 1.23600059 -19.294739 70.817617
    Unten links KachelX 58510 KachelY + 1 28447 -0.33680466 1.23598484 -19.297486 70.816715
    Unten rechts KachelX + 1 58511 KachelY + 1 28447 -0.33675672 1.23598484 -19.294739 70.816715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23600059-1.23598484) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dl = 100.343249999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23600059-1.23598484) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dr = 100.343249999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33680466--0.33675672) × cos(1.23600059) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328576254739773 × 6371000     		do = 100.355645750258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33680466--0.33675672) × cos(1.23598484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328591130218784 × 6371000     		du = 100.360189104443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23600059)-sin(1.23598484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328576254739773-0.328591130218784)×R²
    abs(-0.33675672--0.33680466)×1.48754790103012e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48754790103012e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48754790103012e-05×40589641000000     		ar = 10070.23959815m²