Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58509 / 39099
↖ ↑ ↗
← N 58.546761°
W 19.300232°		 ← 159.34 m → N 58.546761°
W 19.297486°		 →
↑
159.34 m
↓
↑
159.34 m
↓
N 58.545328°
W 19.300232°		 ← 159.35 m →
25 389 m²		 N 58.545328°
W 19.297486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446392059326172 y=0.298305511474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446392059326172 × 217)
    floor (0.446392059326172 × 131072)
    floor (58509.5)     		tx = 58509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298305511474609 × 217)
    floor (0.298305511474609 × 131072)
    floor (39099.5)     		ty = 39099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58509 / 39099 ti = "17/58509/39099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58509/39099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58509 ÷ 217
    58509 ÷ 131072     		x = 0.446388244628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39099 ÷ 217
    39099 ÷ 131072     		y = 0.298301696777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446388244628906 × 2 - 1) × π
    -0.107223510742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33685259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298301696777344 × 2 - 1) × π
    0.403396606445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.26730781525542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33685259} λ = -0.33685259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26730781525542))-π/2
    2×atan(3.55127898211513)-π/2
    2×1.29631503949911-π/2
    2.59263007899823-1.57079632675     		φ = 1.02183375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33685259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.300232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02183375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.546761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58509 KachelY 39099 -0.33685259 1.02183375 -19.300232 58.546761
    Oben rechts KachelX + 1 58510 KachelY 39099 -0.33680466 1.02183375 -19.297486 58.546761
    Unten links KachelX 58509 KachelY + 1 39100 -0.33685259 1.02180874 -19.300232 58.545328
    Unten rechts KachelX + 1 58510 KachelY + 1 39100 -0.33680466 1.02180874 -19.297486 58.545328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02183375-1.02180874) × R
    2.5010000000103e-05 × 6371000     		dl = 159.338710000656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02183375-1.02180874) × R
    2.5010000000103e-05 × 6371000     		dr = 159.338710000656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33685259--0.33680466) × cos(1.02183375) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.521802519096967 × 6371000     		do = 159.338676490661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33685259--0.33680466) × cos(1.02180874) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.521823854122211 × 6371000     		du = 159.34519139728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02183375)-sin(1.02180874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521802519096967-0.521823854122211)×R²
    abs(-0.33680466--0.33685259)×2.13350252437072e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.13350252437072e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.13350252437072e-05×40589641000000     		ar = 25389.3382048219m²