Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58509 / 39098
↖ ↑ ↗
← N 58.548195°
W 19.300232°		 ← 159.33 m → N 58.548195°
W 19.297486°		 →
↑
159.40 m
↓
↑
159.40 m
↓
N 58.546761°
W 19.300232°		 ← 159.34 m →
25 398 m²		 N 58.546761°
W 19.297486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446392059326172 y=0.298297882080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446392059326172 × 217)
    floor (0.446392059326172 × 131072)
    floor (58509.5)     		tx = 58509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298297882080078 × 217)
    floor (0.298297882080078 × 131072)
    floor (39098.5)     		ty = 39098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58509 / 39098 ti = "17/58509/39098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58509/39098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58509 ÷ 217
    58509 ÷ 131072     		x = 0.446388244628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39098 ÷ 217
    39098 ÷ 131072     		y = 0.298294067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446388244628906 × 2 - 1) × π
    -0.107223510742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33685259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298294067382812 × 2 - 1) × π
    0.403411865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26735575215504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33685259} λ = -0.33685259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26735575215504))-π/2
    2×atan(3.55144922349961)-π/2
    2×1.29632754604084-π/2
    2.59265509208168-1.57079632675     		φ = 1.02185877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33685259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.300232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02185877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.548195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58509 KachelY 39098 -0.33685259 1.02185877 -19.300232 58.548195
    Oben rechts KachelX + 1 58510 KachelY 39098 -0.33680466 1.02185877 -19.297486 58.548195
    Unten links KachelX 58509 KachelY + 1 39099 -0.33685259 1.02183375 -19.300232 58.546761
    Unten rechts KachelX + 1 58510 KachelY + 1 39099 -0.33680466 1.02183375 -19.297486 58.546761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02185877-1.02183375) × R
    2.50199999998202e-05 × 6371000     		dl = 159.402419998854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02185877-1.02183375) × R
    2.50199999998202e-05 × 6371000     		dr = 159.402419998854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33685259--0.33680466) × cos(1.02185877) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.521781175214543 × 6371000     		do = 159.332158879396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33685259--0.33680466) × cos(1.02183375) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.521802519096967 × 6371000     		du = 159.338676490661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02185877)-sin(1.02183375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521781175214543-0.521802519096967)×R²
    abs(-0.33680466--0.33685259)×2.13438824245848e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.13438824245848e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.13438824245848e-05×40589641000000     		ar = 25398.4511718885m²