Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58507 / 39103
↖ ↑ ↗
← N 58.541028°
W 19.305725°		 ← 159.40 m → N 58.541028°
W 19.302978°		 →
↑
159.40 m
↓
↑
159.40 m
↓
N 58.539595°
W 19.305725°		 ← 159.40 m →
25 409 m²		 N 58.539595°
W 19.302978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446376800537109 y=0.298336029052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446376800537109 × 217)
    floor (0.446376800537109 × 131072)
    floor (58507.5)     		tx = 58507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298336029052734 × 217)
    floor (0.298336029052734 × 131072)
    floor (39103.5)     		ty = 39103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58507 / 39103 ti = "17/58507/39103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58507/39103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58507 ÷ 217
    58507 ÷ 131072     		x = 0.446372985839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39103 ÷ 217
    39103 ÷ 131072     		y = 0.298332214355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446372985839844 × 2 - 1) × π
    -0.107254028320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33694847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298332214355469 × 2 - 1) × π
    0.403335571289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.26711606765694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33694847} λ = -0.33694847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26711606765694))-π/2
    2×atan(3.55059809817979)-π/2
    2×1.29626500821764-π/2
    2.59253001643527-1.57079632675     		φ = 1.02173369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33694847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.305725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02173369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.541028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58507 KachelY 39103 -0.33694847 1.02173369 -19.305725 58.541028
    Oben rechts KachelX + 1 58508 KachelY 39103 -0.33690053 1.02173369 -19.302978 58.541028
    Unten links KachelX 58507 KachelY + 1 39104 -0.33694847 1.02170867 -19.305725 58.539595
    Unten rechts KachelX + 1 58508 KachelY + 1 39104 -0.33690053 1.02170867 -19.302978 58.539595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02173369-1.02170867) × R
    2.50200000000422e-05 × 6371000     		dl = 159.402420000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02173369-1.02170867) × R
    2.50200000000422e-05 × 6371000     		dr = 159.402420000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33694847--0.33690053) × cos(1.02173369) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.521887874299765 × 6371000     		do = 159.397990205113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33694847--0.33690053) × cos(1.02170867) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.521909216549075 × 6371000     		du = 159.404508677401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02173369)-sin(1.02170867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521887874299765-0.521909216549075)×R²
    abs(-0.33690053--0.33694847)×2.13422493093862e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13422493093862e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13422493093862e-05×40589641000000     		ar = 25408.9449133169m²