Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58507 / 37545
↖ ↑ ↗
← N 60.704104°
W 19.305725°		 ← 149.45 m → N 60.704104°
W 19.302978°		 →
↑
149.40 m
↓
↑
149.40 m
↓
N 60.702761°
W 19.305725°		 ← 149.46 m →
22 328 m²		 N 60.702761°
W 19.302978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446376800537109 y=0.286449432373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446376800537109 × 217)
    floor (0.446376800537109 × 131072)
    floor (58507.5)     		tx = 58507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286449432373047 × 217)
    floor (0.286449432373047 × 131072)
    floor (37545.5)     		ty = 37545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58507 / 37545 ti = "17/58507/37545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58507/37545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58507 ÷ 217
    58507 ÷ 131072     		x = 0.446372985839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37545 ÷ 217
    37545 ÷ 131072     		y = 0.286445617675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446372985839844 × 2 - 1) × π
    -0.107254028320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33694847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286445617675781 × 2 - 1) × π
    0.427108764648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.34180175726499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33694847} λ = -0.33694847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34180175726499))-π/2
    2×atan(3.82593069740842)-π/2
    2×1.31514140946678-π/2
    2.63028281893357-1.57079632675     		φ = 1.05948649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33694847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.305725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05948649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.704104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58507 KachelY 37545 -0.33694847 1.05948649 -19.305725 60.704104
    Oben rechts KachelX + 1 58508 KachelY 37545 -0.33690053 1.05948649 -19.302978 60.704104
    Unten links KachelX 58507 KachelY + 1 37546 -0.33694847 1.05946304 -19.305725 60.702761
    Unten rechts KachelX + 1 58508 KachelY + 1 37546 -0.33690053 1.05946304 -19.302978 60.702761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05948649-1.05946304) × R
    2.34500000000359e-05 × 6371000     		dl = 149.399950000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05948649-1.05946304) × R
    2.34500000000359e-05 × 6371000     		dr = 149.399950000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33694847--0.33690053) × cos(1.05948649) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.489319980648625 × 6371000     		do = 149.450917186467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33694847--0.33690053) × cos(1.05946304) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.489340431360544 × 6371000     		du = 149.457163360288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05948649)-sin(1.05946304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.489319980648625-0.489340431360544)×R²
    abs(-0.33690053--0.33694847)×2.04507119186403e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04507119186403e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04507119186403e-05×40589641000000     		ar = 22328.4261451006m²