Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58507 / 36028
↖ ↑ ↗
← N 62.679186°
W 19.305725°		 ← 140.18 m → N 62.679186°
W 19.302978°		 →
↑
140.16 m
↓
↑
140.16 m
↓
N 62.677926°
W 19.305725°		 ← 140.19 m →
19 649 m²		 N 62.677926°
W 19.302978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446376800537109 y=0.274875640869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446376800537109 × 217)
    floor (0.446376800537109 × 131072)
    floor (58507.5)     		tx = 58507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274875640869141 × 217)
    floor (0.274875640869141 × 131072)
    floor (36028.5)     		ty = 36028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58507 / 36028 ti = "17/58507/36028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58507/36028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58507 ÷ 217
    58507 ÷ 131072     		x = 0.446372985839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36028 ÷ 217
    36028 ÷ 131072     		y = 0.274871826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446372985839844 × 2 - 1) × π
    -0.107254028320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33694847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274871826171875 × 2 - 1) × π
    0.45025634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.41452203398862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33694847} λ = -0.33694847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41452203398862))-π/2
    2×atan(4.11451939549007)-π/2
    2×1.33237724919101-π/2
    2.66475449838202-1.57079632675     		φ = 1.09395817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33694847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.305725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09395817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.679186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58507 KachelY 36028 -0.33694847 1.09395817 -19.305725 62.679186
    Oben rechts KachelX + 1 58508 KachelY 36028 -0.33690053 1.09395817 -19.302978 62.679186
    Unten links KachelX 58507 KachelY + 1 36029 -0.33694847 1.09393617 -19.305725 62.677926
    Unten rechts KachelX + 1 58508 KachelY + 1 36029 -0.33690053 1.09393617 -19.302978 62.677926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09395817-1.09393617) × R
    2.19999999999665e-05 × 6371000     		dl = 140.161999999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09395817-1.09393617) × R
    2.19999999999665e-05 × 6371000     		dr = 140.161999999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33694847--0.33690053) × cos(1.09395817) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.458972333085302 × 6371000     		do = 140.181964472175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33694847--0.33690053) × cos(1.09393617) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.458991878886548 × 6371000     		du = 140.187934262985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09395817)-sin(1.09393617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458972333085302-0.458991878886548)×R²
    abs(-0.33690053--0.33694847)×1.95458012458571e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.95458012458571e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.95458012458571e-05×40589641000000     		ar = 19648.6028740215m²