Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58506 / 84027
↖ ↑ ↗
← S 45.203328°
W 19.308471°		 ← 215.16 m → S 45.203328°
W 19.305725°		 →
↑
215.21 m
↓
↑
215.21 m
↓
S 45.205264°
W 19.308471°		 ← 215.15 m →
46 303 m²		 S 45.205264°
W 19.305725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446369171142578 y=0.641078948974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446369171142578 × 217)
    floor (0.446369171142578 × 131072)
    floor (58506.5)     		tx = 58506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641078948974609 × 217)
    floor (0.641078948974609 × 131072)
    floor (84027.5)     		ty = 84027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58506 / 84027 ti = "17/58506/84027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58506/84027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58506 ÷ 217
    58506 ÷ 131072     		x = 0.446365356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84027 ÷ 217
    84027 ÷ 131072     		y = 0.641075134277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446365356445312 × 2 - 1) × π
    -0.107269287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33699640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641075134277344 × 2 - 1) × π
    -0.282150268554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.886401210874458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33699640} λ = -0.33699640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886401210874458))-π/2
    2×atan(0.412136278662072)-π/2
    2×0.390924707850112-π/2
    0.781849415700224-1.57079632675     		φ = -0.78894691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33699640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.308471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78894691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.203328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58506 KachelY 84027 -0.33699640 -0.78894691 -19.308471 -45.203328
    Oben rechts KachelX + 1 58507 KachelY 84027 -0.33694847 -0.78894691 -19.305725 -45.203328
    Unten links KachelX 58506 KachelY + 1 84028 -0.33699640 -0.78898069 -19.308471 -45.205264
    Unten rechts KachelX + 1 58507 KachelY + 1 84028 -0.33694847 -0.78898069 -19.305725 -45.205264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78894691--0.78898069) × R
    3.37800000000943e-05 × 6371000     		dl = 215.212380000601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78894691--0.78898069) × R
    3.37800000000943e-05 × 6371000     		dr = 215.212380000601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33699640--0.33694847) × cos(-0.78894691) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.704592991159939 × 6371000     		do = 215.155946104253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33699640--0.33694847) × cos(-0.78898069) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.704569020075857 × 6371000     		du = 215.148626245357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78894691)-sin(-0.78898069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704592991159939-0.704569020075857)×R²
    abs(-0.33694847--0.33699640)×2.39710840812535e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39710840812535e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39710840812535e-05×40589641000000     		ar = 46303.4355748522m²