Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58506 / 39113
↖ ↑ ↗
← N 58.526691°
W 19.308471°		 ← 159.43 m → N 58.526691°
W 19.305725°		 →
↑
159.47 m
↓
↑
159.47 m
↓
N 58.525257°
W 19.308471°		 ← 159.44 m →
25 424 m²		 N 58.525257°
W 19.305725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446369171142578 y=0.298412322998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446369171142578 × 217)
    floor (0.446369171142578 × 131072)
    floor (58506.5)     		tx = 58506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298412322998047 × 217)
    floor (0.298412322998047 × 131072)
    floor (39113.5)     		ty = 39113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58506 / 39113 ti = "17/58506/39113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58506/39113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58506 ÷ 217
    58506 ÷ 131072     		x = 0.446365356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39113 ÷ 217
    39113 ÷ 131072     		y = 0.298408508300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446365356445312 × 2 - 1) × π
    -0.107269287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33699640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298408508300781 × 2 - 1) × π
    0.403182983398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.26663669866074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33699640} λ = -0.33699640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26663669866074))-π/2
    2×atan(3.54889645942257)-π/2
    2×1.2961398942073-π/2
    2.59227978841461-1.57079632675     		φ = 1.02148346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33699640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.308471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02148346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.526691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58506 KachelY 39113 -0.33699640 1.02148346 -19.308471 58.526691
    Oben rechts KachelX + 1 58507 KachelY 39113 -0.33694847 1.02148346 -19.305725 58.526691
    Unten links KachelX 58506 KachelY + 1 39114 -0.33699640 1.02145843 -19.308471 58.525257
    Unten rechts KachelX + 1 58507 KachelY + 1 39114 -0.33694847 1.02145843 -19.305725 58.525257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02148346-1.02145843) × R
    2.50299999999815e-05 × 6371000     		dl = 159.466129999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02148346-1.02145843) × R
    2.50299999999815e-05 × 6371000     		dr = 159.466129999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33699640--0.33694847) × cos(1.02148346) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.522101307675569 × 6371000     		do = 159.429915177379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33699640--0.33694847) × cos(1.02145843) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.522122655185435 × 6371000     		du = 159.436433896327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02148346)-sin(1.02145843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522101307675569-0.522122655185435)×R²
    abs(-0.33694847--0.33699640)×2.13475098665983e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.13475098665983e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.13475098665983e-05×40589641000000     		ar = 25424.1913384526m²