Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58504 / 81534
↖ ↑ ↗
← S 40.174676°
W 19.313965°		 ← 233.37 m → S 40.174676°
W 19.311218°		 →
↑
233.31 m
↓
↑
233.31 m
↓
S 40.176775°
W 19.313965°		 ← 233.36 m →
54 446 m²		 S 40.176775°
W 19.311218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446353912353516 y=0.622058868408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446353912353516 × 217)
    floor (0.446353912353516 × 131072)
    floor (58504.5)     		tx = 58504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622058868408203 × 217)
    floor (0.622058868408203 × 131072)
    floor (81534.5)     		ty = 81534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58504 / 81534 ti = "17/58504/81534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58504/81534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58504 ÷ 217
    58504 ÷ 131072     		x = 0.44635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81534 ÷ 217
    81534 ÷ 131072     		y = 0.622055053710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44635009765625 × 2 - 1) × π
    -0.1072998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33709228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622055053710938 × 2 - 1) × π
    -0.244110107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.766894520121658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33709228} λ = -0.33709228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766894520121658))-π/2
    2×atan(0.46445318104146)-π/2
    2×0.434807975420071-π/2
    0.869615950840142-1.57079632675     		φ = -0.70118038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33709228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.313965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70118038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.174676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58504 KachelY 81534 -0.33709228 -0.70118038 -19.313965 -40.174676
    Oben rechts KachelX + 1 58505 KachelY 81534 -0.33704434 -0.70118038 -19.311218 -40.174676
    Unten links KachelX 58504 KachelY + 1 81535 -0.33709228 -0.70121700 -19.313965 -40.176775
    Unten rechts KachelX + 1 58505 KachelY + 1 81535 -0.33704434 -0.70121700 -19.311218 -40.176775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70118038--0.70121700) × R
    3.66199999999317e-05 × 6371000     		dl = 233.306019999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70118038--0.70121700) × R
    3.66199999999317e-05 × 6371000     		dr = 233.306019999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33709228--0.33704434) × cos(-0.70118038) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.76408123296133 × 6371000     		do = 233.370075997444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33709228--0.33704434) × cos(-0.70121700) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.764057608153047 × 6371000     		du = 233.362860372892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70118038)-sin(-0.70121700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76408123296133-0.764057608153047)×R²
    abs(-0.33704434--0.33709228)×2.36248082825519e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36248082825519e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36248082825519e-05×40589641000000     		ar = 54445.8018996948m²